Reizend anbetungswürdige Jessica; ich weiß jetzt nicht, ob dich meine Antwort befriedigen wird. In Wiki fand ich unter dem Schlagwort Jordanform den aller wichtigsten Begriff ===> Elementarteiler ( ET ) mit keinem Wort erwähnt.
While satt isse hopping point, around which itself everysing turns; oder bittu etwa kein " Runaway " ?
Fangen wir an mit der Säkulardeterminante ( SD )
| 1 - x 0 0 0 |
| 1/2 - ( x + 1 ) 0 - 2 |
p_A ( x ) = | 0 1 - ( x + 1 ) 1 |
| - 1/2 0 0 1 - x |
( 1a )
( Die Gleichungsnummer ging leider nicht mehr auf die Zeile )
Hier bietet sich doch Entwicklung nach der ersten Zeile geradezu an:
p_A ( x ) = - ( x - 1 ) det_3 ( 1b )
wobei det_3 die 3 X 3 Unterdeterminante symbolisieren soll. Wir haben also schon einen Eigenwert E1 = 1 abgetrennt, den wir im Folgenden nicht mehr berücksichtigen wollen.
| - ( x + 1 ) 0 - 2 |
p_3 ( x ) = | 1 - ( x + 1 ) 1 | ( 1b )
| 0 0 1 - x |
Und jetzt ist Entwickeln nach der 3 . Zeile angesagt; abermals ziehen wir einen Eigenwert E2 = 1 heraus:
p_A ( x ) = ( x - 1 ) ² p_2 ( x ) ( 1c )
| - ( x + 1 ) 0 |
p_2 ( x ) = | 1 - ( x + 1 ) | ( 1d )
= ( x + 1 ) ² ( 1e )
p_A ( x ) = ( x + 1 ) ² ( x - 1 ) ² ( 2 )
Weil es gibt ja " drei Ritterlieder " ===> Fredl Fesl und zwei SF-Filme. Der eine heißt " Matrix " und der andere " ET " - ausgerechnet ...
Als wenn die große Masse wüsste, was eine Matrix und was ihre ET sind - wo doch das Wissensgebiet der ET so kompliziert ist, dass nicht mal die Studenten es verstehen ...
Zu diesem Mistverständnis fällt mir nur jene Arie aus den " Pilgern von Mekka " von Gluck ein
" Unser dummer Pöbel meint "
zu der Mozart sehr bekannte Variationen geschrieben hat - könntest du mir vielleicht den Text besorgen?
Weil der Kerngedanke ist, " ET " sei wie gesagt ein Alien ( claro; weil es keiner schnallt ) Und eine Matrix sei ein Werkzeug, mit welch selbigem die Wissenden die Dummen manipulieren.
Psychologisch übrigens hoch intreessant; die Begeisterung für die Computerologie rührt angeblich daher, dass sich der Rechner sklavisch unterordne und sämtliche Befehle bedingungslos ausführe. Und da in den modernen Sprachen Matrizen eine heraus ragende Rolle spielen, glaubt der " dumme Pöbel " , Matrizen seien ein Werkzeug, um Herrschaftswissen auszuüben ...
Du musst jetzt die wichtigsten Erkenntnisse der ET Teorie aktivieren; die ET Zerlegung ist stets direkt ( im Gegensatz zu den Eigenvektoren, die ja bekanntlich nicht immer eine Basis bilden. )
|R ^ 4 = V_(-1) + V1 ( 3 )
Das findest du übrigens alles im Kowalsky oder Greub. Und aus der Literatur kannte ich bis Eben für diese V_i den Ausdruck " Komponentenräume " Weil Wiki nennt sie Haupträume.
Macht Internet dumm?
Nicht nur ihr könnt Deutsch mit eurem ewigen " Hochpunkt " statt Maximum; ich kann es auch.
Es heißt also Haupt-und nicht Komponentenraum.
Heißen Hauptideal und Hauptraum nur deshalb so, weil sie besonders wichtig sind?
Oder sind sie nach ===> Otto Haupt benannt, dessen Algebraskript ich dir übrigens wärmstens empfehle.
Die Dimension eines Hauptraumes ist immer gleich dem Entartungsgrad des zugehörigen Eigenwerts; in beiden Fällen also 2 . ( Diese Regel stellt sicher, dass die direkte Zerlegung immer aufgeht. )
Nehmen wir uns mal den Eigenwert E1 = ( - 1 ) her; noch wissen wir nicht, ob der adjungierte ET linear oder quadratisch ist
( Das Minimalpolynom teilt die SD; jede Matrix löst ihre eigene SD. ) Machen wir uns mal schlau, ob es zwei oder nur einen Eigenvektor gibt.
Anmerkung; meine Gleichungsnummern ( a-d ) entsprechen Zeile 1-4 der Matrix A ; oft erhält man sachdienliche Infos, wenn man sich nicht stur an die vorgegebene Reihenfolge hält.
x1 = - x1 ===> x1 = 0 ( 4a )
Das Ergebnis ( 4a ) können wir mit Gewinn in ( 4d ) ausschlachten:
x4 = - x4 ===> x4 = 0 ( 4d )
x2 - x3 = - x3 ===> x2 = 0 ( 4c )
Wenn wir in dieser Reihenfolge vorgehen, liefert uns ( 4b ) keine neue Aussage mehr:
0 = - x2 ( 4b )
Über x3 haben wir keine Aussage; der Rang unseres LGS ist Eins; den gefundenen Eigenvektor will ich mal v1 nennen:
v1 = ( 0 | 0 | 1 | 0 ) ( 5 )
Die Spalten deiner Matrix sind immer die Bilder der kanonischen einheitsvektoren; vergleiche mal unser Ergebnis mit Spalte 3 der vorgegebenen Matrix A .
Dieser Onkel Jordan war mal angestellt bei Radio Eriwan; du musst jetzt nämlich verstehen, was der " im Prinzip " von dir will. wiki hatte ich nämlich nur verstanden, weil ich - wie schon oft während des Studiums - seine Sprache rückübersetzt hatte in das, was ich schon kenne.
Gehen wir mal aus von der Matrix
A_1 := A - E1 * 1| = A + 1| ( 6 )
A_1 ist ===> nilpotent auf V_(-1) , es gilt A_1 ² = 0 .
Ferner gilt die bekannte Beziehung
Rang ( A_1 ) + dim Kern ( A_1 ) = 2 ( 7 )
Mal sehen, ob du es wirklich verstanden hast.
Was ist Kern ( A_1 ) ? Nichts anderes als der Eigenvektor zum Eigenwert E1 , den wir oben in ( 5 ) v1 genannt hatten ===> dim Kern ( A_1 ) = 1 .
Und was ist Bild ( A_1 ) ? Auch wieder v1 . Denn sonst wäre ja unverständlich, wieso A_1 ² den Hauptraum V_(-1) platt macht - so weit klar?
Den zweiten Basisvektor v2 von V_(-1) sollst du nun so bestimmen, dass
A_1 v2 = v1 ( 8a )
Notieren wir zunächst die Matrix A_1
( Er mault mich an, ich habe max Zeichen; aber ich mache fertig. Aktion ===> Emil
" Es intressiert mich persönlich. "
