Bestimme die Jordansche Normalform von A mithilfe des Ranges

Question

Aufgabe:

Hi, ich habe zurzeit ein kleines Problem bei einer Aufgabe.

Sei A∈ℂ^7x7, sodass (A-E₇)³=0 und rang(A-E₇)²=2. Bestimme die Jordansche Normalform von A.

Problem/Ansatz:

Mir fehlt ein bisschen die Idee wie ich das ganze angehen soll.

Ich dachte mir zuerst:

Da gilt (A-E₇)³=0 gilt muss ein Teil des Minimalpolynoms wie folgt aussehen:

(X-1)³, was ja dann heißt das der Größte Jordanblock die Größe 3x3 hat.

Nun weiß ich allerdings nicht wie ich auf weitere Sachen schließen soll.

Etwas Hilfe wäre super. Danke schonmal im Voraus :)

Comments

Vielleicht mit zwei Dreierblöcken und einem Einerblock:
\(\hspace{15px} J=\left(\begin{array}{ccccccc}\color{red}1&\color{red}1&\color{red}0&0&0&0&0\\\color{red}0&\color{red}1&\color{red}1&0&0&0&0\\\color{red}0&\color{red}0&\color{red}1&0&0&0&0\\0&0&0&\color{blue}1&0&0&0\\0&0&0&0&\color{green}1&\color{green}1&\color{green}0\\0&0&0&0&\color{green}0&\color{green}1&\color{green}1\\0&0&0&0&\color{green}0&\color{green}0&\color{green}1\\\end{array}\right)\).

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Kann ich denn so einfach darauf schließen? Bzw wie würde ich das Beweisen, dass das geht?

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Du musst doch nur begründen, dass \(\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}^{\!\!3}=0\) und \(\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}^{\!\!2}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\) ist.