Betrag der Geschwindigkeit v(t) in Abhängigkeit von t angeben

Question

Die Bahn eines Objektes in 2 Dimensionen in Abhängigkeit von der Zeit t sei gegeben durch:

\( \vec{f}(t) = \begin{pmatrix} e^{-8t} \cos(9t) \\ e^{-8t} \sin(9t) \end{pmatrix} \)

Geben Sie den Betrag der Geschwindigkeit v(t) in Abhängigkeit von t an (weitestgehend vereinfacht).

Answer 1

Berechne komponentenweise die Ableitung und dann den Betrag dieses Vektors. Die erste Ableitung gibt immer die Änderungsrate des Wegs pro Zeiteinheit an, also die Geschwindigkeit.

Answer 2

  Bittu gut in eulersatz?

   "  Der kürzeste  Umweg zur reellen Analysis führt über die komplexe Ebene.  "

     z  (  t  )  =  exp  (  -  8  +  9  i  )  t       (  1  )

   eine Spirale  .  Der Vorteil  im  Komplexen:  Du schlägst dich  nicht länger rum mit Vektoren und ihren Komponenten; hier das sind Zahlen, mit denen du rechnen kannst .

    (  d/dt )  z  (  t  )  =  (  -  8  +  9  i  )  exp  (  -  8  +  9  i  )  t    ( 2 )

   ( Ableitung ganz einfach mitz der Kettenregel, wie du es gewohnt bist. )

     Du müsstest dir mal überlegen, wie die Rechenregeln für den Betrag einer komplexen Zahl gehen .    Wegen dem Eulersatz liegt ja die imaginäre e-Funktion auf dem Einheitskreis und hat stets Betrag  Eins  .

   |  (  d/dt )  z  (  t  )  |  =  |  -  8  +  9  i  |  exp  (  -  8  t  )   (  3a  )

      Nebenrechnung nach Pythia und Gorilla

         8  ²  +  9  ²  =  145     (  3b  )

  |  (  d/dt )  z  (  t  )  |  =  sqr  (  145  )  exp  (  -  8  t  )    (  3c  )