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Hallo liebe Community.

ich weiß einfach nicht wie ich nun weiter machen soll..

Aufgabe:
Die Bewegung eines Teilchens auf dem Kreissegment im ersten Quadranten des Einheitskreis kann beschrieben werden durch f(t) = (cos(t),sin(t)), 0 ≤ t ≤ π/2

a) Warum hat das Teilchen, das der Kurve f folgt, eine konstante Geschwindigkeit? (Hinweis: Die Geschwindigkeit erhalten Sie durch die erste Ableitung.)

Ich habe die 1. Ableitung gebildet doch verstehe nicht, wie mir das zeigen soll, das die Geschwindigkeit konstant ist:

f ' (t) = (-sin(t), cos(t))
Meine Versuche:
f ' (0) = (0,1)
f ' (π/2) = (-0,027 , 0,9996)
Wie genau kann ich nun ablesen, das es sich um eine konstante Geschwindigkeit handelt?

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f(t) = [COS(t), SIN(t)]

f'(t) = [- SIN(t), COS(t)]

Wir bilden den Betrag der Geschwindigkeit

|[- SIN(t), COS(t)]| = 1

Damit ist die Geschwindigkeit genau 1.

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Also kann ich mir in meinem Unterlagen notieren das der Betrag der 1. Ableitung der Kurve die Geschwindigkeit ergibt?

Noch zum Verständnis: Ist in diesem Fall die Geschwindigkeit = Bogenlänge?

Vielen Dank

Ja. Quasi der Kreisbogen den wir in einer einheit t zurücklegen.

Die Ableitung des Weges nach der Zeit ergibt die Geschwindigkeit

s' = v

Das ist dabei jetzt egal ob s ein Punkt auf einer eindimensionalen Strecke oder ein Punkt in einer zweidimensionalen Ebene oder gar ein Punkt im dreidimensionalen raum ist.

Ich habe mich gerade gefragt, wie kommt man auf die 1, wenn man nur ein t hat?

Doch wenn man sich ja die Kurve f(t) ansieht ist es ähnlich wie mit den Vektoren.
Also:
|f (t)| = √(-sin2(t) + cos2(t))

|f(0)| = √(-sin2(0) + cos2(0)) = 1 :D.

(Eine Erklärung, falls jemand ein ähnliches Problem hat)

Zunächst mal hast du

|[- SIN(t), COS(t)]| 

= √((- SIN(t))^2 + (COS(t))^2) 

= √(SIN(t)^2 + COS(t)^2) 

Es gilt der trigonometrische Pythagoras SIN(t)^2 + COS(t)^2 = 1

= √1 

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Hi,
hier noch ein anderer Ansatz. Zum Zeitpunkt \( t \) hat das Teilchen einen Winkel $$  \varphi(t) = \arctan \left( \frac{\sin(t)}{\cos(t)}  \right) $$ mit der x-Achse. Daraus ergibt sich die Winkelgeschwindigkeit \( \omega(t) \) zu $$ \omega(t) = \frac{d}{dt}\varphi(t) = \frac{1}{1 + \frac{\sin^2(t)}{\cos^2(t)}} \frac{\cos^2(t) + \sin^2(t)}{\cos^2(t)} = 1 $$ D.h. die Winkelgeschwindigkeit ist konstant.
Die Tangentialgeschwindigkeit berechnet sich zu $$ v_{\bot} = \omega \cdot r = 1  $$ da \( \omega = 1  \) und \( r = 1 \) gilt.

Damit ist die tangentiale Bahngeschwindigkeit konstant. Eine radiale Geschwindigkeit gibt es nicht, da der Bahnradius sich ja nicht verändert.

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