Skalarprodukte un Norm in R3

Question

Es sei {e1, e2, e3} die Standardbasis des R³
.
Bestimmen Sie alle Skalarprodukte des R³, so dass fur die zugehörige Norm || · || die
Gleichungen ||e1|| = 1, ||e2|| = 2, ||e3|| =√3 gelten und außerdem der Winkel zwischen e1und e2 den Wert π/3 und der Winkel zwischen e2 und e3 den Wert π/6 hat.

Hallo ich würde mich über Hilfe freuen weil ich nicht ganz verstehe was ich hier machen soll

Gruß mathwaw

Answer 1

Besorg Dir die Fakten zum Thema:

• Skalarprodukte sind positiv definite symmetrische Bilinearformen.

• Jedes Skalarprodukt $\sigma$ kann man in der Form $\sigma(x,y)=\langle x,Ay\rangle$ schreiben, wobei rechts das Standardskalarprodukt steht und $A$ eine positiv definite symmetrische Matrix ist.

• Die Norm zum Skalarprodukt ist $\lVert x\rVert=\sqrt{\sigma(x,x)}$.

• Winkel bezueglich $\sigma$ berechnen sich nach der Formel $$\cos\angle(x,y)=\frac{\sigma(x,y)}{\lVert x\rVert\cdot\lVert y\rVert}.$$

Comments

Ich kenne die Fakten.

Ich verstehe die spezielle Aufgabe nicht und weiß nicht was ich überhaupt machen soll und wie ich anfangen soll.

Die Aufgabe verwirrt mich gerade einfach extrem.

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Zu bestimmen sind alle positiv definiten symmetrischen Matrizen A, für die sich die verlangten Resultate einstellen. Ganz einfach und simpel. Du muesstest mal erklaeren, wie sich bei so einer geradlinigen Aufgabe bei Dir extreme Verwirrung einstellen kann, wo Dir doch sogar alle Fakten bestens vertraut und die auszufuehrenden Rechnungen ganz straight sind. Ich kann mir so etwas naemlich gar nicht vorstellen. Mich hat schon Onkel Dosty mit seinem "Nervenfieber" immer verwirrt.

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Ich habe bevor ich angefangen bereits einige Stunde ein anderes Fach gelernt und jetzt soll ich mich rechtfertigen weil ich eine einfache Aufgabe nicht verstehe. Anstatt 5 mal zu erwähnen das es doch soooo einfach und offensichtlich ist hättest du ( wie du am Anfang deines zweiten Kommentares auch gemacht hast) einfach nur kurz sagen brauchen in welche Richtung die Aufgabe geht. Jetzt weiß ich was ich machen muss

Danke für den ersten Teil und ich warte auf den Moment wo du einmal etwas einfaches nicht verstehst und kurz jemanden fragen musst. Vielen Dank das du meine Zeit verschwendet hast.

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Haha :-)))))))

Answer 2

  An sich mach ich sowas nicht gerne.  Es ist aber wirklich kein Grund zu bellen. Eine solche Basis heißt glaub ich kovariant.
  Würd mich mal intressieren; was für eine Art Student bittentu?  Was lernst du denn noch?

     A ( 1 ; 1 ) = 1 ; A ( 2 ; 2 ) = 4 ;  A  ( 3 ; 3 )  =  3   (  1  )

      cos  (  Pi/3  )  =  1/2      (  2  )

    Dann wäre also

     <  e1  ;  e2  >  =  1  *  2  *  1/2  =  1      (  3a  )

    Wenn ich mich jetzt nicht gänzlich irre, müsste sein

     A  (  1  ;  2  )  =  1/2     (  3b  )

   weil wegen der Symmetrie der Matrix der Wert ja doppelt zählt  ( so ähnlich wie beim  ===>  Trägheitstzensor )

   Das Skalarprodukt zwischen e2 und e3  müsste entsprechend den Wert 2 haben, so dass

      A  (  2  ;  3  )  =  1       (  3c  )