0 Daumen
654 Aufrufe

Frage steht oben. Würde mich über Hilfe freuen.

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Betrachte die kurze exakte Folge von \(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\)-Moduln:

$$ 0 \to \mathbb{Z} \times 0 \stackrel{\iota}{\hookrightarrow} \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}  \stackrel{p}{\twoheadrightarrow} 0 \times \mathbb{Z} \to 0 $$

Mit Inklusion \(\iota\) und Projektion \(p\). Diese spaltet und daraus folgt

$$ (0\times \mathbb{Z}) \oplus (\mathbb{Z}\times 0) \cong (\mathbb{Z}\times \mathbb{Z})$$

Beachte \( \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\) ist frei als \( \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\)-Modul und deshalb ist \(0\times \mathbb{Z}\) projektiv, aber nicht frei, denn sind \( ((0,x_i))_{i\in I} \) Elemente in \(0\times \mathbb{Z}\) dann ist

$$\sum_{i\in I} (1,0)(0,x_i)=(0,0) $$

=> Linear abhängig.

Avatar von 6,0 k
0 Daumen

Probiere mal

ZxZ: f:(n,phi(n))-> phi(n^2)

Avatar von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community