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Die Lösung kann einfach sein oder auch sehr schwierig, Nur komme ich leider nicht drauf:

An einen Drucker werden pro Minute durchschnittlich 6 Seiten Druckoutput geschickt. Der Drucker hat eine Kapazität von 10 Seiten/Minute.

a) wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Drucker in einer bestimmten Minute überlastet ist?

b) In einer bestimmten Minute werden (bei leerer Druckerwarteschlange) 15 Seiten zum Drucker geschickt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Drucker nach Ablauf der nächsten Minute alle in den letzten 2 Minuten geschickten Seiten verarbeitet hat?

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Ich habe eine Weile über der Aufgabe gegrübelt und habe endlich eine Idee gefunden. Ich bin mir nicht wirklich sicher, dass es so machbar ist, da es mir intuitiv so scheint, dass nur der Erwartungswert nicht reicht. Ich möchte es als Binominalverteilt betrachten, wobei es mir irgendwie merkwürdig scheint, dass die Anzahl der Versuche dann eine stetige Menge ist... als Normalverteilung kann ich es mir aber noch weniger Vorstellen mit diskretem Ergebnisraum des Zufallsexperiments. Mit anderen Verteilungen kenne ich mich allerdings weniger aus...

n: Anzahl der betrachteten Zeitintervalle während einer Minute (für n=60 wäre das Zeitintervall z.B. eine Sekunde); n>5
p: Wahrscheinlichkeit, dass in einem bestimmten Zeitintervall ein Druckauftrag eingeht

X: Anzahl der eingegangenen Druckaufträge in einer Minute; binominalverteilte Zufallsvariable (?)

$$\begin{aligned}E(X) &= 6\\ n\cdot p &= 6\\ p &= \frac{6}{n}\end{aligned}$$

Das Problem ist, dass mit dieser Methode in keinem Zeitintervall der Länge 1/n min mehr als ein Druckauftrag eingehen kann, dies sollte allerdings kein Problem sein, wenn man n groß genug wählt oder gar den Grenzwert berechnet...

Aufgabe a)

Mehr Probleme... so wie die Frage formuliert ist, müsste man die Möglichkeit beachten, dass Druckaufträge aus der vorherigen Minute verschleppt worden sein könnten. Ignorieren wir diese Möglichkeit mal, ist schon kompliziert genug :)

Man könnte jetzt z.B. "einfach"

$$\lim_{n\rightarrow\infty}P(X>10) = 1-\lim_{n\rightarrow\infty}P(X\le 10)$$

berechnen. Ich habe mal ein paar Testeinsetzungen gemacht und bin ab n=10000 immer auf \(P(X\le 10)=0,9574\) gekommen.

Das Modell berücksichtigt aber nicht, wann die Druckaufträge eingehen: z.B. könnten für n=60 in den letzten 10 Sekunden 10 Aufträge eingehen und solange wie die 50 Sekunden davor nix kam, würde der Drucker als nicht überlastet zählen. Der Drucker schafft aber nur 10 Seite/Minute, braucht also modellhaft eine Zehntelminute, also 6 Sekunden, pro Druckauftrag. Man könnte also versucht sein die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass jede Zehntelminute nur ein Druckauftrag reinkommt, das verschleppt aber nur das Problem, weil der Auftrage ja wieder am Ende der Zehntelminute reinkommen könnte und dann ins nächste Zeitinitervall überlappt... vielleicht kann man nochmal was mit Grenzwertbetrachtung erreichen, aber das ist die beste Idee, die mir soweit einfällt :)

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