Invertierbarkeit untersuchen

Question

Ich hab eine kurze Frage. Ich muss bei dieser Aufgabe die Invertierbarkeit von C untersuchen. Und das für p= 2 , 3 und 5, aber welche Auswirkung hat eigentlich p?

          ( 13   7   6

C=       -7    1   1          ∈  ℤ_p^3x3

             3    8   7 )

P.S die 3x3 sind nicht über p sondern ℤ

Comments

welche Auswirkung hat eigentlich p?

Die Einträge der Matrix C sind Restklassen modulo p. Addition und Multiplikation sind Verknüpfungen in diesem Restklassenkörper.

Answer 1

Berechne die Determinante, das ist -3 .

Und mod 2 ist das gleich 1, also Matrix invertierbar.

     mod 3 ist es 0, also über Z₃ nicht invertierbar

      mod 5 ist es 2, also invertierbar.

Answer 2

Du willst wissen welche Auswirkungen das p hat? Das p bestimmt den Körper in dem die Matrixeinträge liegen.

Die ersten zwei als Beispiel:

p=2:

$$ C= \begin{pmatrix} 1&1&0\\1&1&1\\1&0&1\end{pmatrix} \in M(3\times 3, \mathbb{F}_2)$$

p=3:

$$ C= \begin{pmatrix} 1&1&0\\2&1&1\\0&2&1\end{pmatrix} \in M(3\times 3, \mathbb{F}_3)$$

Answer 3

aber welche Auswirkung hat eigentlich p?

Für den Rechenweg hat p keine dramatischen Auswirkungen. Wegen der Homomorphieregeln

    (a mod p + b mod p) mod p = (a + b) mod p

    (a mod p - b mod p) mod p = (a - b) mod p

    ((a mod p) · (b mod p)) mod p = (a · b) mod p

darfst du so rechnen, als ob C ∈ ℤ^3×3 wäre.

Du brauchst nur das Ergebnis mod p zu nehmen, um zu beurteilen ob C invertierbar ist. Das kann natürlich für unterschiedliche Werte von p zu unterschiedlichen Aussagen über die Invertierbarkeit von C führen.