Ableitung einer Matrixfunktion

Question

sei F: ℝ^{n×n} × Gl(n,ℝ) → ℝ mit F(A,B) = spur(A B^{-1}).

Geben Sie die Ableitung von F in (A, Id) an, wobei A ∈ R^{n×n}.

Vielen Dank für die Hilfe.

Answer 1

\(F(A+H,I+K)-F(A,I)\) unter Verwendung der Neumannschen Reihe linearisieren. Ergibt \(DF(A,I)(H,K)=\operatorname{Spur}H-\operatorname{Spur}AK\).

Comments

Kannst du kurz die herleitung mithilfe der neumannreihe erklären?

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Schreib erst mal die Differenz \(F(A+H,I+K)-F(A,I)\) hin. Dann kann man weitersehen.

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F(A+H,I+K) - F(A,I) = spur((A+H)(I+K)^{-1})-spur(AI) = spur((A+H)(I+K)^{-1})-spur(A)

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Na, die Neumannsche Reihe benutzt Du jetzt für \((I+K)^{-1}\).

Answer 2

  "  Als " diese dämliche Anmache, was man machen könnte. Statt es einfach zu tun.  Mein Daddy kannte das Zitat - wer kann es nachweisen?

   " Wissenschaftler  [  Matematiker ]  sind Spezialisten, die komplizierten Irrtümern mit Begfeisterung anhängen. "

   Gehen wir aus vom  ===>  Dirac  Bracketformalismus. Was man Studenten immer verschweigt; Dirac ist doch nix weiter, als dass ein  "  Bra  "  einen Zeilen_und ein  Ket einen Spaltenvektor bedeutet. Ein typisches Matrixelement schreibt sich dann in der Form

          <  k  |  A  B  ^ - 1  m  >          (  1a  )

     Und meine Errungenschaft Marke Haba Spezial ist die Entdeckung, dass Dirac und die ===> Einsteinsche Indexkonvention also wunderbar miteinander können.

       Sp  (  A  B  ^ - 1  )  =  <  k  |  A  B  ^ - 1  k  >        (  1b  )

    Was nun dieses Tema  Ableitungen angeht,  so verweise ich auf dieses pyramidonale  QM_Lehrbuch von  ===>  Eugen Fi ck / Darmstadt.  Dort wird also erst mal ausgesagt,  differenzierbar sind nur solche Matrixfunktionen A = A ( t )  ,  die von einem skalaren Parameter  t  abhängen.

   Natürlich werden wir auf ( 1b ) die Produktregel anwenden;  doch was ist die Ableitung der Inversen?  Alles im Fi ck bereits vorgedacht;  das Buch liest sich echt kurzweilig wie ein Krimi.

              B  B ^ - 1  =  1|  =  Einheitsmatrix           (  2a  )

       Jetzt  Produktregel anwenden

      ( dB/dt )  B  ^  - 1  +  B  ( d/dt )  B  ^  - 1  =  0    |   B  ^  - 1  °       (  2b  )

    Anmerkung; den Umformungsschritt  in ( 2b ) habe ich wie üblich vermerkt.  "  Kringel rechts "  bedeutet  "  Matmul  von  Links "

           ( d/dt )  B  ^  - 1  =  -  B  ^ -  1  ( dB/dt )  B  ^  - 1        (  2c  )

      (  2c  )   wird eingesetzt in  ( 1b  )

   ( d/dt )  Sp  =  <  k  |  ( dA/dt ) B k >  -  < k  |  A B  ^ -  1  ( dB/dt )  B  ^  - 1 k >  =     (  3a  )

                      =  Sp  [  ( dA/dt )  B ]  -  Sp  [  A B  ^ -  1  ( dB/dt )  B  ^  - 1 ]      (  3b  )

    Jetzt wünschen aber Herr Professor

           B  (  t  =  0  )  =:  B_0  =  1|       (  4a  )

     und das vereinfacht die ganze Chose in ( 3b ) wesentlich.

    ( d/dt )  Sp | 0  =  Sp  [  ( dA/dt ) | 0  ]  -  Sp  [  A_0  ( dB/dt ) | 0  ]      (  4b  )