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Die Aufgabensteillung lautet:

Die Zufallsvariablen X, X1, . . . , Xn seien unabhängig und stetig gleichverteilt auf dem Intervall [0; 1]. Sei Q =
min(X1, . . . , Xn).
a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von Q

Mein Ansatz war ganz billig in die Formel
         
           0  , wenn x<a 
F(x) = (x-a)/(b-a)    , wenn x€[a;b] 
           1  , wenn x > b
einzusetzen. In der Lösung wird aber ganz anders vorgegangen

F(x) = P(Q ≤ x) = 1 − P(X1 > x, ..., Xn > x) = 1 − (P(X1 > x))n
, sodass:

           0  , wenn x<a
F(x) = 1-(1-x)^n    , wenn x€[0;1]
          1  , wenn x > b

Kann mir jemand die Lösung erkläutern? und tut mir Leid für diese etwas unübersichtliche Frage. Ich bin neu in diesem Forum und darf keine Grafiken posten.

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Die Frage hat nichts mit Normalverteilung und Erwartungswert zu tun. Ich habe die Tags entfernt.

1 Antwort

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in die Formel ... einzusetzen

Das ist die Formel für die Verteilungfunktion einer gleichverteilten Zufallsvariable auf [a, b]. Die darfst du verwenden wenn du die Verteilungfunktion einer gleichverteilten Zufallsvariable auf [a, b] bestimmen möchtest.

Du möchtest die Verteilungfunktion von Q bestimmen. Q ist nicht gleichverteilt. Also darfst du nicht einfach in die Formel für die Verteilungfunktion einer gleichverteilten Zufallsvariable auf [a, b] einsetzen. Bevor du Formeln verwendest, musst du prüfen, ob die Voraussetzungen für die Verwendung einer Formel erfüllt sind. Bei der Formel für die Verteilungfunktion einer gleichverteilten Zufallsvariable auf [a, b] ist das, dass es sich um eine gleichverteilte Zufallsvariable auf [a, b] handelt.

F(x) = P(Q ≤ x)

Das ist die Definition von Verteilungsfunktion.

P(Q ≤ x) = 1 − P(X1 > x, ..., Xn > x)

P(Q ≤ x) = P(X1 ≤ x ∨ X2 ≤ x ∨ ... ∨ Xn ≤ x) laut Definition von Q.

P(X1 ≤ x ∨ X2 ≤ x ∨ ... ∨ Xn ≤ x) = 1 - P(X1 > x ∧ X2 > x ∧ ... ∧ Xn > x) weil

        X1 > x ∧ X2 > x ∧ ... ∧ Xn > x

das Gegenerergnis von

        X1 ≤ x ∨ X2 ≤ x ∨ ... ∨ Xn ≤ x

ist. In der Lösung wurden anstatt ∧-Zeichen Kommata verwendet.

.1 − P(X1 > x, ..., Xn > x) = 1 − (P(X1 > x))n

Die Xi sind stochastisch unabhängig. Also gilt

        P(X1 > x, ..., Xn > x) = P(X1 > x) · ... · P(Xn > x).

Außerdem sind sie identisch verteilt. Also gilt

        P(X1 > x)  = P(X2 > x) = ... = P(Xn > x).

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Vielen Dank für deine Erklärung!

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