Beweise, dass folgende Summe gilt. Arithmetisches Mittel

Question

Ich soll zeigen, dass Folgendes gilt:

a) $$\sum_{i=1}^{n}{(x_i-µ)}=0$$

und

b) $$\sum_{i=1}^{n}{(x_i-µ)^2}=(\sum_{i=1}^{n}{x_i^2})-nµ^2$$

Mir ist bewusst, dass das arithmetische Mittel von n reellen Zahlen x₁, x₂, ..., x_n durch

$$µ:=\frac{1}{n}\cdot(\sum_{i=1}^{n}{(x_i)})$$ definiert ist.

Bei den Fragen hänge ich jedoch fest, weil ich überhaupt nicht weiß, wie ich da vorgehen soll. Kann mir jemand den Rechenweg und die Lösung aufzeigen?

Comments

Ich wuerde ja bei Teil b) mit der zweiten binomischen Formel anfangen ... Kennst Du die? Und bei Teil a) verwendest Du, was Dir nach eigener Aussage "bewusst" ist. Falls Du mit dem Summenzeichen auf Kriegsfuss stehst, dann schreibe es doch ohne. Und natuerlich kannst Du auch zuerst Spezialfaelle für kleines n (2, 3, ...) aufschreiben. Also die Sache ist einfach genug, um am Ende selber draufzukommen.

Answer 1

Nutze die Linearität der Summe, so dass du sie Summe in mehrere einzelne Summen aufteilen kannst. Bei b) kannst du zunächst $\left(x_i-\mu\right)^2$ mit Hilfe der zweiten binomischen Formel ausmultiplizieren.

Dabei stößt du gegebenfalls dann auf die Summe $\sum_{i=1}^{n} x_i,$ was nichts anderes als $n\cdot\mu$ ist ... $\sum_{i=1}^{n} x_i = n\cdot \underbrace{\frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^{n} x_i}_{=\mu} = n\cdot \mu$

Beachte auch, dass für Konstanten $c$, die nicht vom Summationsindex abhängen gilt: $\sum_{i=1}^{n} c = \underbrace{c + \dots + c}_{n\text{-mal}} = n\cdot c$

a)

$\begin{aligned}\sum_{i=1}^{n} \left(x_i - \mu \right) & = \sum_{i=1}^{n} x_i - \sum_{i=1}^{n} \mu \\ & = n\cdot\underbrace{\frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^{n}x_i}_{=\mu} - \underbrace{\sum_{i=1}^{n} \mu}_{=n\cdot\mu} \\ & = n\cdot \mu - n\cdot \mu = 0\end{aligned}$

b)

$\begin{aligned}\sum_{i=1}^{n} \left(x_i - \mu \right)^2 & = \sum_{i=1}^{n} \left(x_i^2 - 2 \cdot x_i \cdot \mu + \mu^2 \right) \\ &= \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - 2\cdot \mu\cdot \sum_{i=1}^{n} x_i + \sum_{i=1}^{n} \mu^2 \\ &= \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - 2\cdot \mu\cdot n\cdot \underbrace{\frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^{n} x_i}_{=\mu} + \underbrace{\sum_{i=1}^{n} \mu^2}_{=n\cdot \mu^2} \\ &= \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - 2\cdot \mu\cdot n\cdot \mu + n\cdot\mu^2 \\ &= \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - 2\cdot n\cdot \mu^2 + n\cdot\mu^2 \\ &= \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\cdot\mu^2 \end{aligned}$