Frage zur Aussagenlogik, Beweis von T ^ A = A

Question

ich hab eine Frage zum axiomatisachen Beweisen mit Aussagen:

und zwar geht es um den Beweis: T∧A≡A

Wir dürfen leider Idempotenz nicht benutzen.

Ich bin das ganze jetzt so angegangen:

T∧A≡A

Negation: A∧(A∨¬A) Ξ A

Und hier jetzt meine Frage kann ich hier folgendes machen:

Es gilt ja: A∧(A∨B) Ξ A

Macht es jetzt einen Unterschied ob A∧(A∨¬A) oder A∧(A∨B) dort steht? Beides ist für mich eine Tautologie.

Danke für jede Hilfe

Comments

T steht hier für Tautologie und ist definiert durch : T≡A ∨¬A

Answer 1

wenn du mich fragst, reicht hier eine simple Wertetabelle. Hierfür stehe "1" für wahr und "0" für falsch.

Für \( T \wedge A \) gilt dann:

\( 0, 0 \mapsto 0 \),

\( 0, 1 \mapsto 0 \),

\( 1, 0 \mapsto 0 \),

\( 1, 1 \mapsto 1 \).

Wenn also \( \wedge \) das logische Und bezeichnen soll, so ist die Aussage gar nicht richtig, denn in der zweiten Zeile ist \( A \) wahr, aber \( T \wedge A \) falsch.

MfG

Mister

Comments

Japp das ist wahr und das hätte ich auch von alleine so gemacht, nur sollen wir in einem Übungsblatt axiomatisches Beweisen üben, und dafür dürfen wir nur eine handvoll vorgegebener Axiome benutzen. Ansonsten hätte ich es haargenauso gemacht

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Dann wäre jetzt der richtige Zeitpunkt, die Axiome zu nennen, die ihr benutzen dürft.

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Puhh ok:
A ∧ B ≡ B ∧ A (Kommutativität)

A ∨ B ≡ B ∨ A

A ∧(B ∧ C) ≡ (A ∧ B) ∧ C (Assoziativität)
A∨ (B∨ C) ≡  (A ∨B) ∨ C
A ∧ (A ∨ B) ≡ A (Absorption)
A ∨(A ∧ B)  ≡ A
A ∧(B ∨C) ≡ (A ∧ B)∨ (A ∧ C) (Distributivität)
A ∨ (B ∧C) ≡  (A _ B)∧ (A ∨ C)
A ∧¬A ≡  F (Negation)
A ∨¬A ≡  T

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das erscheint mir nun besonders einfach:

T ≡ A ∨¬A.

T ∧ A = (A ∨¬A) ∧ A.

Das Axiom "Absorption" kann jetzt direkt angewendet werden:

(A ∨¬A) ∧ A = A.

Das war's.

MfG

Mister

PS: Wir sehen auch aus der Wahrheit von T unter allen Umständen, dass obige Aussage nun wieder richtig ist, da in der Wertetabelle nun nur die letzten beiden Zeilen

\( 1, 0 \mapsto 0 \) und

\( 1, 1 \mapsto 1 \)

vorkommen.

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PPS: Wenn man's ganz genau nimmt, dann muss man auch noch das Axiom "Kommutativität" benennen, das ich ja stillschweigend benutzte:

(A ∨¬A) ∧ A = A ∧ (A ∨¬A).

Erst jetzt ist ja formal die Voraussetzung des Axioms "Absorption" erfüllt, sodass folgt:

A ∧ (A ∨¬A) = A.

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Hallo Mister, danke für die Antwort,

meine Frage war ja ursprünglich auch, ob ich denn die Absorbtion benutzen darf in diesem Zusammenhang.

Danke auf jeden Fall!

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Du hast doch Absorption selbst aufgeführt als eines der Axiome, die du benutzen darfst?