Supremum der Vereinigung

Question

Zu zeigen ist für A,B nicht leere Teilmengen von R gilt sup(A vereinigt B)= unendlich, falls A oder B nach oben unbeschränkt bzw. Sup(A vereinigt B)= Max(sup(A),sup(B)) sonst.

Intuitiv ist es logisch, jedoch weiß ich nicht, wie man genau vorgehen kann.

Also ich würde für den ersten Teil annehmen, dass A nach oben unbeschränkt ist und B beschränkt o.B.d.A.. Dann ist das Supremum von A auch obere Schranke von B und damit auch Schranke von A vereinigt B, und damit auch dessen Supremum.

Sei nun A und B beschränkt, wegen der ordnungsvollständigkeit besitzen beide Mengen ein Supremum. Vereinigt man die Mengen so beschreibt das Maximum der suprema das Maximum der Vereinigten Menge.

Ist das richtig so, oder zu einfach gedacht?

Answer 1

dass A nach oben unbeschränkt ist und B beschränkt o.B.d.A.

Dann musst du den Fall, sup(A) = sup(B) = ∞ gesondert betrachten.

Sei o.B.d.A. A nach oben unbeschränkt. Sei a₀ ∈ A∪B. Sei a₁ ∈ A mit a₁ > a₀ (a₁ existiert, weil A nach oben unbeschränkt ist). Dann ist a₁ ∈ A∪B, wegen A ⊆ A∪B. Also ist A∪B nach oben unbeschränkt.

Vereinigt man die Mengen so beschreibt das Maximum der suprema das Maximum der Vereinigten Menge.

Hier hast du lediglich die zu beweisende Aussage verschärft. Plötzlich hat laut dieser Aussage A∪B nicht nur ein Supremum, sondern sogar ein Maximum.

Stattdessen: Sei s = max(sup(A),sup(B)).

• Zeige, dass m ≤ s für alle m ∈ A∪B ist.
• Zeige, dass m kein Supremum von A∪B ist, wenn m < s ist.