Wie beweist man das Infimum/ Supremum von m/(m+n)?

Question

Aufgabe:

Aufgabe
Man beweise das Minimum, Maximum, Infimum und Supremum der
Menge M≔{m/(m+n)I m,n ϵ N}.

Dabei gilt N ist größer als 0.

Problem/Ansatz:

Minimum und Maximum existieren nicht.

Infimum: 0 und Supremum: 1.

Mein Problem ist der Beweis vom Infimum und Supremum.

Comments

m/(m+n) = (m+n-n)/(m+n) = 1- n/(m+n)

Answer 1

Wegen $0< \frac{m}{m+n}< 1$

ist $0$ eine untere, $1$ eine obere Schranke von $M$.

Sei $0< \epsilon < 1$. Ich zeige, dass $0+\epsilon=\epsilon$

keine untere Schranke ist, also $0$ die größte untere

Schranke von $M$ ist:

Nach dem archimedischen Axiom gibt es eine nat. Zahl $n>0$ mit

$n>m\cdot \frac{1-\epsilon}{\epsilon}$. Hiermit folgt

$\frac{m}{m+n}<\frac{m}{m+\frac{m(1-\epsilon)}{\epsilon}}=\epsilon$.

Entsprechend wähle $n> m\cdot\frac{\epsilon}{1-\epsilon}$, um zu zeigen,

dass $1-\epsilon$ keine obere Schranke von $M$ ist,

$1$ also die kleinste obere Schranke ist.