Eigenschaften von Supremum und Infimum

Question

Aufgabe

Seien A und nicht leere beschränkte Teilmengen von ℝ und w∈ℝ.

Zu zeigen ist,

1. Wenn für alle a∈A gilt a≤w, dann ist sup A≤w

2. Wenn b≥w für alle b∈B gilt, dann ist inf B≥w

Comments

vgl:

https://mathepedia.de/Infimum_und_Supremum_Axiomensystem_Reelle_Zahl…

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@R : Sowas muss der Nachwelt doch erhalten bleiben !

Answer 1

Was soll man da zeigen? Das folgt direkt aus der Definition von Supremum und Infimum:

1. Offensichtlich ist $w$ eine obere Schranke von $A$. Das Supremum ist definiert als die kleinste obere Schranke. Also muss $\sup A\leq w$ sein.

2. Analog ist hier $w$ eine untere Schranke von $B$. Das Infimum ist definiert als die größte untere Schranke. Also muss $\inf B\geq w$ sein.