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v1 = (−2, 2, 1)^T, v2 = (−2, 0, 1)^T

Bestimmen Sie die orthogonale Projektion von (0, 1, 1)^T auf Span{v1, v2}.


Also in der Lösung, die ich habe steht folgendes:

P(0,1,1)^T = <v1 w1 > w_1 + <v_1, w_2> w_2

v = 1/5 (-2,1,1)^T


ich habe seit ner halben Stunde vergeblich versucht herauszufinden, wie das geht... habe soweit das:

DSC_0237.JPG


mfg

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Also in der Lösung, die ich habe steht folgendes: P(0,1,1)T = <v1 w1 > w_1 + <v_1, w_2> w_2

sicher? ich vermute, da steht so etwas wie

$$P' = \left<P w_1\right> w_1 + \left<P w_2\right> w_2$$ \(w_1\) und \(w_2\) hast Du richtig berechnet. Dann solltest Du aber für die Berechnung der Projektion \(P'\) meinen Vorschlag verwenden. Es ist: $$\begin{aligned} P' &= \left< \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2\\2\\1 \end{pmatrix} \frac13\right> \begin{pmatrix} -2\\2\\1 \end{pmatrix} \frac13  \\ &\quad+ \left< \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -4\\-5\\2 \end{pmatrix} \frac{1}{3\sqrt{5}}\right>\begin{pmatrix} -4\\-5\\2 \end{pmatrix} \frac{1}{3\sqrt{5}} \\ &= 1 \cdot \begin{pmatrix} -2\\2\\1 \end{pmatrix} \frac13 + \frac{-1}{\sqrt{5}} \cdot \begin{pmatrix} -4\\-5\\2 \end{pmatrix} \frac{1}{3\sqrt{5}} \\ &= \frac15 \begin{pmatrix} -2\\5\\1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Die Szene im Geoknecht3D zeigt, dass das Ergebnis sinnvoll ist:

Skizze4.png

(klick auf das Bild)

Gruß Werner

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ok ich habs eigentlich verstanden, hatte mich schon gewundert wieso ich den gegeben Vektor der zu Projizieren war nicht drinne hatte. Hatte wohl die falsche Formel:


Aber ich verstehe deine Lösung rechnerisch nicht...


woher kommt der Vektor

$$\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{3\sqrt{5}}$$

Das soll glaub ich w_2 sein. und hast einfach die Brüche mit 2 jeweils gekürzt.

Aber bei mir sind die Vorzeichen ganz anders.


Und du meinst meine Musterlösung vom Tutor ist falsch?

also du hast bei x_2 ja 5 statt 1 ...


mfg

also ich habe wie es aussieht nen VZ-Fehler... ich kontrolliere meine Rechnung kurz nochmal...

ich habe wahrscheinlich die lösung falsch abgeschrieben und eine 1 statt 5 hingemacht xD


mfg

woher kommt der Vektor
\(\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{3\sqrt{5}}\)
Das soll glaub ich \(w_2\) sein. und hast einfach die Brüche mit 2 jeweils gekürzt.

Ja - das ist \(w_2\) und gekürzt. \(\sqrt{180} = 2 \cdot 3 \sqrt{5}\)


Aber bei mir sind die Vorzeichen ganz anders.

Stimmt - Du hast bei der Berechnung die Vorzeichen falsch gesetzt. Das war mir gar nicht aufgefallen; ich hatte \(w_2\) unabhängig von Deiner Rechnung bestimmt.

Die Rechnung ist (s.o.) $$\begin{aligned} \space &= \begin{pmatrix} -2\\0\\1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -10/9\\10/9\\5/9 \end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix} \colorbox{#ffff88}{-}8/9\\-10/9\\ \colorbox{#ffff88}{+}4/9 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

an den markieren Stelle hast Du die Vorzeichen falsch gesetzt.

Gruß Werner

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