Folgende Aufgabe:
$$Seien~a,b \in \mathbb{R}~mit~a<b.~Gegeben~seien~endlich~viele~Punkte~x_1,...x_k \in [a,b],~wobei~k \in \mathbb{N}_{>0}.~Die~Funktion~f:~[a,b]->\mathbb {R}~hat~die~Eigenschaft,~dass~f(x)=0~\forall x \notin \{x_1,...x_k\} $$ Gezeigt werden soll nun, dass die Funktion auf [a,b] integrierbar ist. Zuerst gilt es nehme ich mal an zwei Fälle zu unterscheiden. $$ Falls~für~alle~x \in \{x_1,...x_k\}~f(x)=0~dann~ist~die~Funktion~auf~dem~Intervall$$ $$[a,b]~stetig~und~somit~integrierbar. $$
Nun müsste man denke ich zeigen, dass es integrierbar für einen Punkt ungleich 0 ist und dann einen Induktionsbeweis führen. Mein Problem ist nur, dass ich nicht weiss, wie man es für diesen einen Punkt zeigt. Normalerweise müsste ja gezeigt werden, dass auf dem Intervall [a,x] (wobei f(x) ungleich 0), die kleinste Obersumme gleich der größten Untersumme ist. Aber wenn man nun die Untersumme zerlegt, dann kann ja nie eine Zerlegung klein genug werden, sodass das Infimum in einem Abschnitt der Zerlegung f(x) ist. Schließlich muss ja für eine Zerlegung $$ Z:= \{x_1, x_2,...x_k\}~x_1<x_2<...<x_k~gelten~und~nicht~x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_k$$ Das Infimum zwischen zwei gegeben Stützpunkte müsste doch somit immer f(x)=0 sein.
Was habe ich hier falsch verstanden?
