Differentialrechnung - maximaler Gewinn

Question

Folgende Angabe:

Ein Unternehmen besitzt aufgrund eines Patents ein Monopol auf einen Wirkstoff, der von der Pharmaindustrie nachgefragt wird. Die Nachfragefunktion nach diesem Produkt lautet bei einem Preis p:

D(p):x=200e−0.01p0<x<200; x in Tonnen.

Die Produktionskosten sind eine lineare Funktion der Ausbringungsmenge x: C(x)=1500+50x.  Welchen Gewinn kann das Unternehmen maximal erzielen?

Was mache ich falsch? Das hier ist mein Rechenweg:

Gewinn = Erlöse - Kosten

G = 200*x*e^-0.01x - (50x + 1500)

G' -> x = 56,1622

Das x in die Kosten und Erlösfunktion einsetzen -> Gewinn = 2097,56

Heraus kommen sollte jedoch 2962.6

Answer 1

Du hast überall das x in der Gleichung

G = 200*x*e^{-0.01x} - (50x + 1500)

Das ist aber einmal x und einmal p , also

G(p,x)  = 200*p*e^{-0.01p} - (50x + 1500)

und für das hintere x kannst du ja x=200e^{−0.01p}

einsetzen.

Dann hängt alles nur noch von p ab.

G(p) = (200p-10000)*e^{-0,01p} - 1500

G ' (p) = ( 300-2p)*e^{-0,01p}

Also max bei p=150 und G(150) = 2962,60

Comments

G(x) = E(x)-K(x)= p(x)*x - K(x)

D(p) muss zuerst nach p umgestellt werden.