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Welche BEziehung muss zwischen den koeffizienten b und c bestehen, damit der graph von f mit f(x) = x3 + bx2 + cx + d einen wendepunkt mit waagerechter tangente hat? (die frage wurde schon ein mal gestellt aber ich werde nicht schlau drauss :)
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Ein Wendepunkt von f ( x ) liegt an der Stelle x0 vor, an der gilt:

f ' ' ( x0 ) = 0

An dieser Stelle x0 soll die Tangente an f waagerecht sein, also mus zudem gelten:

f ' ( x0 ) = 0

 

Bestimmung der Ableitungen:

f ' ( x ) =3 x ²+ 2 b x + c

 

f ' ' ( x ) = 6 x + 2 b

 

Bestimmung des Wendepunktes:

f ' ' ( x ) = 0 

<=> 6 x = - 2 b

<=> x = ( - 1 / 3 ) b

 

An dieser Stelle muss f ' ( x ) = 0 sein, also:

f ' ( ( - 1 / 3 ) b ) = 3 * (  ( - 1 / 3 ) b ) ² + 2 b * ( - 1 / 3 ) b + c = 0

<=> ( 3 / 9 )  b ² - ( 2 / 3 ) b ² + c = 0

<=> ( - 1 / 3 ) b ² + c = 0

<=> 3 c = b ²

Das ist die gesuchte Beziehung zwischen b und c

 

Beispiel:

c = 12 => b ² = 3 c = 36 => b = - 6 ODER b = 6  

Die Funktionen

f ( x ) = x ³ - 6 x ² + 12 x + 5

und

g ( x ) = x ³ + 6 x ² + 12 x + 5

haben einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente und zwar f ( x ) bei x = 2 und g ( x ) bei x = - 2.

Hier ein Schaubild dieser Funktionen:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3-6x%5E2%2B12x%2B5+%2C+x%5E3%2B6x%5E2%2B12x%2B5+from+-5+to+5

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vielen dank :) ich habs endlich verstanden

Wie bist du auf 3/9 gekommen??? Ich überlege schon seit ner halben stunde aber komme einfach nicht drauf!

3 * (  ( - 1 / 3 ) b ) ²
3 * ( (- 1)^2 / 3^2 ) * b^2 )
3 * ( 1 / 9 * b^2 )
3 / 9 * b^2

Bitte schön.

Wenn du Fragen hast dann frage.
Dazu ist das Forum da.

mfg Georg

Hofentlich bist du noch aktiv... Wenn die Aufgabe weiterlautet: Zeigen Sie, dass die Funktion f keine Extremstellen hat. wie geht man das an

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f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d
f ´( x ) = 3 * x^2 + 2bx + c

Stellen mit waagerechter Tangente
( Extremstellen, Sattelpunkte )
3 * x^2 + 2bx + c = 0  | : 3
x^2 + 2/3 * bx + c/3 = 0
Lösung mit quadratischer Ergänzung
x + 2/3 * b * x + ( 1/3b)^2 = 1/9*b^2- c/3
( x + 1/3b)^2 =1/9*b^2- 3*c/9
x + 1/3b = ± √ ( b^2- 3c ) / 3
x = ± √ ( b^2- 3c ) / 3  - 1/3b
keine Nullstelle bei
b2 - 3c < 0
Die Wurzel kann nicht gezogen werden.

Probe mit
b = 1
c = 2
d = 3

f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d
f(x) = x^3 + 1*x^2 + 2x + 3

Bild Mathematik

Die Funktion hat keine Extremstelle

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