Wie kommt man auf dieses Gegenbeispiel? Thema: Lineare Abbildungen

Question

Ich habe folgende Abbildung auf Linearität zu untersuchen und verstehe die Musterlösung nicht, bzw. ich verstehe die komplette Abbildung nicht, also wie man damit rechnen soll.

Aufgabe:
$$g:{R}_{\le 4}[x]\rightarrow { R }^{ 2,2 },\quad a{ x }^{ 4 }+b{ x }^{ 3 }+c{ x }^{ 2 }+d{ x }+e\mapsto \begin{bmatrix} a+b & 3b \\ c-2a & |d| \end{bmatrix}$$

Musterlösung:
$$g(x)+g(-x)=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\neq \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=g(0)=g(x+(-x))$$

Könnte mir dies Jemand mal etwas ausführlicher aufschreiben, bzw. erklären? Ich komme irgendwie nicht so richtig damit klar.

P.s: Irgendwie wird der Code nicht richtig angezeigt... Funktioniert das Dollarzeichen nicht mehr?

Comments

Ich bekomme es irgendwie nicht hin mit dem Code, habe dafür den Formeleditor genommen und dies zwischen den vier Dollarzeichen gepackt, wie immer eigentlich.

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Entferne vielleicht die überflüssigen Leerzeichen bei { bmatrix }.

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Scheint auch nichts zu bringen, ich schreibe es nun hier mal etwas unschöner ab, mal sehen ob es dann Jemand noch entziffern möchte:)

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Aufgabe: Untersuchen sie g auf Linearität.
g:R_<=4 [x] -> R^2,2 , ax⁴+bx³+cx²+dx+e ->[ a+b    3b , c-2a   |d|]

Musterlösung:
g(x)+g(-x) = [0   0 , 0   1] + [0  0 , 0  1] = [0  0 , 0  2] != [0  0 , 0  0]=g(0) = g(x+(-x))

Zur Erklärung [0  0 , 0  1]    das Komma soll die Dimension der 2x2 Matrix trennen.

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$$g:{ R }_{ \le 4 }[x]\rightarrow { R }^{ 2,2 },\quad a{ x }^{ 4 }+b{ x }^{ 3 }+c{ x }^{ 2 }+d{ x }+e\mapsto \begin{bmatrix} a+b & 3b \\ c-2a & |d| \end{bmatrix}$$So gemeint?

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Job, perfekt:) Wo war mein Fehler?

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Ich habe deinen $\TeX$- Code kopiert und vier Leerzeichen entfernt. Siehe oben.

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Hast du vlt noch eine Lösung zu meinem eigentlichen Problem? :)

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Wenn g linear wäre, müsste g(p)+g(-p)=g(p+(-p))=g(0)=0 gelten für jedes Polynom p höchstens vierten Grades. Wähle p(x)=x, also a=b=c=e=0 und d=1 und zeige g(p)≠0.

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Ok, also darf man einfach unterschiedliche Werte nehmen?
Eine andere Frage wäre, wie erkennt man das eine Abbildung nicht Linear ist, wenn einem kein Gegenbeispiel einfällt, gibt es da irgendwelche Tricks?

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wie erkennt man das eine Abbildung nicht Linear ist, wenn einem kein Gegenbeispiel einfällt

Man scheitert bei dem Versuch, zu beweisen dass die Abbildung linear ist.

Answer 1

"Wie kommt man auf dieses Gegenbeispiel?"

Nachdenken. ganz einfach & effektiv (nicht beleidigend gemeint sondern fakt).