Aufgabe:
Zeigen Sie, dass es sich bei den folgenden Ausdrücken um Zähldichten handelt.
a) \( \quad p(k)=\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}, \quad k \in\{0, \ldots, n\}, \quad n \in \mathbb{N}, p \in[0,1] \),
b) \( \quad p(k)=\frac{\lambda^{k}}{k !} e^{-\lambda}, \quad k \in \mathbb{N}_{0}, \quad \lambda>0 \),
c) \( \quad p(k)=-\frac{p^{k}}{k \cdot \log (1-p)}, \quad k \in \mathbb{N}, \quad p \in(0,1) \)
(Hinweis zu c): Betrachten Sie die Taylorentwicklung des normierenden Faktors \( \log (1-p) \).)
Problem/Ansatz:
ich weiß, dass ich hierfür folgende zwei Sachen zeigen muss:
1) pω > 0 ∀ω∈Ω
2) ∑ (über alle ω∈Ω) pω = 1
Ich weiß auch was die Bedingungen bedeuten:
1) Die Wahrscheinlichkeit ist größer 0
2) Alle aufaddieren Wahrscheinlichkeiten ergeben 1
Ich weiß nur leider absolut nicht, wie ich das in diesen 3 speziellen Fällen zeigen soll.