Prüfen, ob Mengen UVR des R3 sind

Question

Hey mathelounge,

ich probier mich aktuell an UVR Aufgaben für die Uni und bräuchte dabei etwas Hilfe.

$$U_1 = \begin{pmatrix} |x|\\|x|\\|x| \end{pmatrix} , x \in \mathbb{R}$$

- hier ist ja der Nullvektor drin, addiere ich zwei Vektoren aus dem VR sind sie immer noch im VR, und multipliziere ich einen Vektor mit delta, ist er immer noch im VR. Also wäre $$U_1$$ ein UVR von $$\mathbb{R}^3$$, richtig?

$$U_2 = \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} , x_1 = x_2 = 2x_3$$

- hier genau dasselbe, $$U_2$$ ist also UVR und $$\mathbb{R}^3$$

$$U_3 = \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_1 * x_2 \end{pmatrix} , x_1, x_2 \in \mathbb{R}$$

- wäre kein UVR, da bspw. Vektorenaddition nicht funktioniert

Ist das soweit richtig? Mich macht vorallem U_1 stutzig, da ich nicht weiß ob der Betrag von x für x, y, z wirklich ein UVR sein kann... ist ja vom Gefühl her eher eine Gerade...?

Answer 1

U_1 ist kein Unterraum,

(1,1,1) ist ein enthalten, aber

(-1)*(1,1,1) ist nicht enthalten.

U_2 ist eine Ursprungs ebene, passt.

U_3 hast du auch richtig erkannt x_1*x_2 ist irgendwie quadratisch, verträgt sich mit Addition nicht.