Implizites Ableiten der Funktion y' = f ' (y)(y') + 1 - g'(y) (y')

Question

Die Ursprungsfunktion y = f(y) + I + X - g(y) wurde einmal abgeleitet (dy / dI) und man erhält folgende Funktion:

 y' = f ' (y)(y') + 1 - g'(y) (y')

Diese Funktion soll implizit differenziert werden (d²y / dI²). Ich komme durch implizites Differenzieren auf folgendes Ergebnis: 

y'' = f'' (y)(y ')²(f '(y))(y'') - g''(y)(y ')²(g '(y))(y'')

Dies sollte weiter vereinfacht und umgeformt werden zur, doch ich komme nicht auf die Lösung im Buch. Die Lösung wäre: y'' = (f'' - g'') / (1 - f' + g')³

Comments

Solltest du bei der 2. Ableitung nicht die Produktregel anwenden? Oder vielleicht zuerst das hier noch nach y' auflösen?

 y' = f ' (y)(y') + 1 - g'(y) (y')

y'(1-f'(y)+g'(y)) = 1.

y ' = 1/(1- f'(y) + g'(y))

Quotienteregel

y'' = -(-f ''(y) *y' + g''(y) * y')/(1- f'(y) + g'(y))^2

Answer 1

Solltest du bei der 2. Ableitung nicht die Produktregel anwenden? Oder vielleicht zuerst das hier noch nach y' auflösen?

 y' = f ' (y)(y') + 1 - g'(y) (y')

y'(1-f'(y)+g'(y)) = 1.

y ' = 1/(1- f'(y) + g'(y))

Quotienteregel

y'' = -(-f ''(y) *y' + g''(y) * y')/(1- f'(y) + g'(y))^2

 

= ((f ''(y) -  g''(y)) * y')/(1- f'(y) + g'(y))^2             |y' einsetzen
 

= (f ''(y) -  g''(y))/(1- f'(y) + g'(y))^2        *   1/(1- f'(y) + g'(y))

=   (f ''(y) -  g''(y))/(1- f'(y) + g'(y))^3