Implizites Ableiten Verständnisfrage

Question

Aufgabe: Implizites Ableiten

x^3+y^3 = 12

<-> 3x^2+3y^2 dx/dy = 0

was genau ist dieses dx/dy und warum steht es hinter y^3 und nicht hinter x^3

Danke

Comments

warum steht es hinter y³ und nicht hinter x³

Es kommen in der Ableitung weder x^3 noch y^3 vor. Es würde tatsächlich hinter x^2 strehen, wenn es sich um eine Ableitung nach y handelt.

Answer 1

Die Summe x³+y³ wird nach x abgeleitet.

Die Ableitung ist d(x³)/dx + d(y³)/dx.

d(x³)/dx wurde gebildet und als 3x² aufgeschrieben.

Da y eine Funktion von x ist, ist die Ableitung von y³ nach Kettenregel

3y² mal (die innere Ableitung).

Und die innere Ableitung ist die Ableitung von y, die man als y' oder als dy/dx schreibt.

Answer 2

Hallo,

\(3x^{2}+3y^{2} \text dx/\text dy = 0\)
was genau ist dieses dx/dy

ich denke, es muss \(\text dy/\text dx\) heißen und nicht umgekehrt. Letzteres wäre dann die Ableitung von \(y\) nach \(x\).

.

.. und warum steht es hinter y³ und nicht hinter x³

weil hier wahrscheinlich nach \(x\) und nicht nach \(y\) abgeleitet wurde. Leitet man \(f(x)\) nach \(x\) ab, so ist dies \(f'(x)\). Leitet man \(y\) bzw. eine Funktion von \(g(y)\) nach \(x\) ab - und nicht nach \(y\) - so muss man noch die Kettenregel anwenden:$$\left(g(y(x))\right)' = g'(y(x)) \cdot y' \quad y' =\frac{\text dy}{\text dx}$$Gruß Werner

Answer 3

Aloha :)

Die Ableitung der Funktion \(y(x)\) mit der Randbedingung$$x^3+y^3(x)=12$$ergibt sich daraus, dass du beide Seiten der Randbedingung nach \(x\) ableitest:$$\frac{d}{dx}\left(x^3+y^3(x)\right)=\frac{d}{dx}(12)$$Rechts liefert die Ableitung der Konstanten \(12\) den Wert \(0\). Links beachten wir beim Ableiten von \(y^3(x)\) die Kettenregel:$$3x^2+3y^2(x)\cdot y'(x)=0$$

Das \(\frac{dx}{dy}\) ist falsch. Es muss \(\frac{dy}{dx}\) heißen und ist nichts anderes als \(y'(x)\).