kommutativer ring, wo x^2-x unendliche viele nullstellen hat

Question

ich soll einen kommutativen Ring angeben, über dem das Polynom x^2-x unendliche viele Nullstellen hat. Leider fällt mir bisher keiner ein.

Generell hat ja x^2-x =0 die Lösung 1.

Bräuchte also eure Hilfe:)

:)

Answer 1

Sei \(x := \begin{pmatrix} 0&0\\a&1 \end{pmatrix}\). Dann ist \(x^2 = x\).

Comments

Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ.

---

Wenn man die Matixmultiplikation auf eine geeignete Teilmenge einschränkt, dann ist sie auf dieser Teilmenge kommutativ.

---

In der Teilmenge sollen ja wohl unendlich viele Matrizen der Form \(0\,0\choose a\,1\) drin sein, oder? Es ist aber \({0\,0\choose a\,1}{0\,0\choose b\,1}={0\,0\choose b\,1}\) und \({0\,0\choose b\,1}{0\,0\choose a\,1}={0\,0\choose a\,1}\).

---

Ich habe \(\begin{pmatrix} 0&0\\a_1&a_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0&0\\b_1&b_2 \end{pmatrix} \) berechnet, und dann (um Kommutativität nachzuweisen) mit dem Ergebnis von \(\begin{pmatrix} 0&0\\a_1&a_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0&0\\b_1&b_2 \end{pmatrix} \) verglichen.

Aus unerfindlichen Gründen kam beides mal das gleiche Ergebnis.

Answer 2

Generell hat ja x²-x =0 die Lösung 1.

Generell hat \(x^2-x=0\) die Lösung \(0\). \(1\) ist nur dann eine weitere Lösung, falls der Ring ueberhaupt eine \(1\) hat. In diesem Fall kann man faktorisieren: \(x^2-x=x(x-1)=0\). Wenn es dann noch andere Lösungen als \(0\) und \(1\) geben soll, muss der Ring Nullteiler haben.

Du kannst also mal kommutative Ringe mit \(1\) auflisten, die unendlich viele Nullteiler haben. Da findet sich was Passendes drunter.