Injektivität bei einer Funktion mit Fallunterscheidung

Question

wenn ich eine Funktion mit Fallunterscheidung habe und ich feststelle, dass alle Teilfunktionen injektiv sind. Kann man dann sagen, dass wenn sich die Bedingungen (Definitionsbereiche der einzelnen Teilfunktionen) ,,überlappen", dass diese Funktion injektiv ist?

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Answer 1

nein, das kann man nicht:

f(x)  =  (    x    für  x≥0

            (  -x    für  x < 0

  f(1) = 1 = f(-1)

verschiedene x-Werte können also den gleichen Funktionswert haben

Gruß Wolfgang

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Danke für die Antwort. Wenn ich nun aber weiß, dass alle Teilfunktionen injektiv sind. Wie kann man dann zeigen, dass es auch meine Funktion ist? Ich habe an eine äquivalente Definition zur Injektivität gedacht

$$ \forall y\in Y:|f^{-1}(\{y\})|\leq 1 $$

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Zum Beispiel betrachte ich

$$ f: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N},n \mapsto f(n):=\begin{cases}n+1,& n\geq 0 \\n-1,&n<0\end{cases} $$

Beide Teilfunktionen sind injektiv. Aber wie kann ich mit dieser äquivalenten Definition zeigen, dass auch f injektiv ist?

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Es war $$ \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$$ gemeint.

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Wenn die beiden Teilfunktionen injektiv - und damit streng monoton - sind, kannst du einfach die Wertemengen beider Teilfunktionen bestimmen und überprüfen, ob deren Schnittmenge leer ist:

f₁ :  ℤ_o⁺ → ℤ   ,  n ↦ n+1    ist streng monoton wachsend

  f₁ ( ℤ_o⁺ ) = {1 , 2 , 3 ... }

f₂ :  ℤ^- → ℤ  ,  n ↦ n -1        ist streng monoton wachsend
  f₂ ( ℤ₀^- ) = {-2 , -3 , -4 ... }   

Die Schnittmenge der beiden Wertemengen ist leer

      →  f ist injektiv

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Ok, das hört sich gut an. Aber wie wäre es denn, wenn meine Wertemengen in Form einer Gleichung beschrieben wäre, also

$$ f_1=\{y\in \mathbb{Z}:y=k+1,k\in \mathbb{N}\}\\f_2=\{y\in \mathbb{Z}:y=-l-2,l\in \mathbb{N}\} $$

Ich betrachte nun davon die Schnittmenge

$$ f_1\cap f_2\\k+1=y=-l-2\Leftrightarrow k=-l-3\Rightarrow \mathbb{L}=\{\}\Rightarrow f_1\cap f_2=\{\} $$

Stimmt das?