$$ Q\left( A\left( X\right) \right) =Q\left( Bild\left( A\right) \right) = N \times \mathbb { R } ^ { k } \; \ \text{mit} \; \mu^{*}(N \times \mathbb { R } ^ { k }) = 0$$
Existiert so eine orthogonale Matrix Q für eine beliebige Menge X (det(A) = 0, N Nullmenge)? Falls ja wieso?
Die Aufgabe ist
\begin{array} { c } { \text { Für beliebiges } A \in \mathbb { R } ^ { d \times d } \text { und } X \subset \mathbb { R } ^ { d } \text { gilt } } \\ { \mu ^ { * } ( A ( X ) ) = | \operatorname { det } ( A ) | \cdot \mu ^ { * } ( X ) } \end{array}
Ich habe die Gleichung für Invertierbare Matrizen (det(A) ungleich 0)
$$\mu ^ { * } ( A ( X ) ) = | \operatorname { det } ( A ) | \cdot \mu ^ { * } ( X ) \; \; \; (1)$$
gezeigt.
Ich will jetzt diese Aussage für det(A) = 0 zeigen.
Mit dem was ich oben gezeigt habe und der Aussage will ich es zeigen
$$\text { Ist } N \subset \mathbb { R } ^ { d } \text { eine Nullmenge, so ist } N \times \mathbb { R } ^ { k } \text { für alle } k \in \mathbb { N } \text { eine Nullmenge in } \mathbb { R } ^ { d + k }$$
Ein Tipp habe ich bekommen dass es ein Q als orthogonal Matrix ex mit
$$ Q\left( A\left( X\right) \right) =Q\left( Bild\left( A\right) \right) = N \times \mathbb { R } ^ { k } \; \ \text{mit} \; \mu^{*}(N \times \mathbb { R } ^ { k }) = 0$$
$$\mu ^{\ast }\left( Bild\left( A\right) \right) =\mu ^{\ast }\left( Q^{-1}\left( Q\left( Bild\left( A\right) \right) \right) \right) \overset{(1)}{=} \left| \det \left( Q^{-1}\right) \right| \cdot \mu ^{\ast }\left( Q\left( Bild\left( A\right) \right) \right)=\mu ^{\ast }\left( Q\left( Bild\left( A\right) \right) \right) = 0 $$
Jetzt zu meiner Frage Wieso ex so eine orthogonal Matrix für eine beliebige Menge X?
