Zweidimensionales Lebesgue-Maß einer Menge bestimmen

Question

Aufgabe:

Mir sind folgende Mengen gegeben:

a) \( M_{1}:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}: 0 \leq x_{1} \leq 1, \frac{1}{2} x_{1} \leq x_{2} \leq \frac{1}{2} x_{1}+1\right\} \)
b) \( M_{2}:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}:\left|x_{1}-3\right| \leq x_{2} \leq 2-\left|x_{1}-3\right|\right\} \);
c) \( M_{3}:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}: x_{2}=x_{1}^{2}\right\} \);
d) \( M_{4}:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}: x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1\right\} \)

Ich soll nun einerseits die Mengen zeichnen und andererseits deren zweidimensionales Lebesgue-Maß berechnen.

Das zeichnen der Mengen stellt kein Problem dar (a) wäre zum Beispiel):

Beim berechnen habe ich allerdings Verständnisprobleme - wir haben kein Lebesgue-Integral definiert, weshalb ich das Lebesgue-Maß nicht über Integration berechnen darf. Aber ist es nicht möglich, das Lebesgue-Maß irgendwie mit Hilfe der Kantenlängen eines Quaders Q zu berechnen?

\( \mathcal{L}^{N}(A):=\inf \left\{\sum \limits_{i=1}^{\infty}\left|Q_{i}\right|: \quad Q_{i}\right. \) Quader mit \( \left.A \subset \bigcup_{i=1}^{\infty} Q_{i}\right\}, \quad \) für \( A \subset \mathbb{R}^{N} \).

Ich verstehe jetzt aber trotzdem nicht, wie ich das nun konkret mach, weshalb ich für eine Erklärung anhand einer der gegebenen Mengen sehr Dankbar wäre.

Comments

Wenn ich die Thematik richtig verstehe, ist das Lebesgue-Maß doch ein Maß im euklidischen Raum, das geometrischen Objekten ihren Inhalt zuordnet. In Fall vom \( ℝ^{2} \) wäre das dann ja der Flächeninhalt. Entspricht das Lebesgue-Maß somit dem Flächeninhalt oder dem Produkt der Kantenlängen?

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Das Lebesgue-Maß liefert für "normale" Mengen ihren Flächeninhalt, beim ersten Beispiel also 1. Wenn Du das wirklich nur mit der angegebenen Definition (das ist übrigens nicht die eigentliche Definition) herleiten sollst, dann kannst Du die Fläche mit Rechtecken mit den Ecken

$$(x,0.5x), \quad (x+h,0.5x), \quad (x,1+0.5x+0.5h),\\ \quad (x+h,1+0.5x+0.5h)$$

überdecken. Solche Rechtecke liefern einen Beitrag von \(h(1+0.5h)\) zur Überdeckung.

Due kannst die Fläche von innen näherungsweise ausschöpfen mit Rechtecken

$$(x,0.5x+0.5h),\;(x+h,0.5x+0.5h),\;(x,1+0.5x),\;(x+h,1+0.5x)$$

Diese liefern einen Beitrag von \(h(1-0.5h)\)

Überdeckt man das Intervall \([0,1]\) mit solchen Teilpunkten im Abstand von h, dann ist die obere Abschätzung für den Inhalt 1+0.5h und die untere 1-0.5h .

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@Mathhilf. Danke dir für die Erklärung (ich muss es wirklich mit der von mir gegebenen "Definition" machen.

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@Mathhilf: Das hat mich jetzt auf noch eine Idee gebracht! Teilaufgabe a) könnte man ja auch mit der Bewegungsinvarianz mittles T=\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} \) lösen (kommt auch 1 heraus) - analoge geht dann auch b) mit T=\( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \)

Bei d) ist die Menge ja eine Parabel und bei c) der Einheitskreis (sprich zwei Parabeln). Jetzt weiß ich nur noch nicht, wie ich das Lebesgue-Maß für diese Parabeln berechne?

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Ein Kreis besteht nicht aus 2 Parabeln.

Ist Dir klar, dass das Maß gleich 0 ist?

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@Mathhilf: Aber ich müsste doch zur Berechnung den Einheitskreis anhand der x1 Achse Teilen können (somit habe ich doch in gewisser weiße zwei Parabeln??), was im Endefekt dann eh wieder zum gleichen Ergebnis führt.

Ist Dir klar, dass das Maß gleich 0 ist

Ja schon, aber ich muss da ja trotzdem noch formal richtig durch irgendwelche Zerlegungen zeigen, so wie es gewünscht ist!

Jetzt hab ich noch das Problem wie ich für c) das Lebesgue Maß der Menge (die ist ja wirklich eine Parabel) ermittle.