Lebesgue-Maß λ(E)=0 für beliebige Ebenen E in der Borel-Algebra B(R^3)?

Question

Irgendwelche Ideen, wie man zeigen kann, dass das Lebesgue-Maß für beliebige Ebenen E in der Borel-Algebra \(B(\mathbb{R}^3)\), λ(E)=0 ist?

Folgende Definition haben wir:

$$ \lambda_d \left( \times_{n=1}^{d} [a_n, b_n) \right) = \prod_{n=1}^{d} (b_n - a_n)$$

Answer 1

Man kann benutzen, dass das L-Maß Translations- und Rotationsinvariant ist.

Damit kann man die Eben erst drehen und dann verschieben, so dass das Ergebnis zum Beispiel die x-y-Ebene ist.

Die x-y-Ebene ist abzählbare Vereinigung von verschobenen \([0,1] \times [0,1] \times \{0\}\).

Diese haben aber das Maß 0, weil \([0,1] \times [0,1] \times \{0\} \sub [0,1]\times[0,1] \times [\delta,\delta]\)