PLU zerlegung mit 4x4 Matrix

Question

Zerlegen Sie die Matrix

A= \( \begin{pmatrix} 1&1&1&1 \\ 1&1&3&4\\3&4&2&1\\3&2&1&2 \end{pmatrix} \)

in eine Permutationmatrix P, eine linke untere Dreiecksmatrix L und eine rechte obere Dreiecksmatrix U, so dass A = P*L*U.

Vielen dank schonmal

Answer 1

Hm,

sollte die Zerlegung nicht A = L P U lauten? Dann würde ich so vorgehen:

Wenn wir erstmal ohne Zeilen und Spaltentausche auskommen wollen,
dann baue Matrizen L_i die von links multipliziert werden (Zeilenoperationen ausführen) und die i-te Spalte 0en.

L1 A ====> L2 L1 A ====> L4 L2 L1 A

L4 L2 L1 A = \(\left(\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\0&0&2&3\\0&1&-1&-2\\0&0&1&0\\\end{array}\right)\)

Weiter erzeugen wir Matrizen R_i, die von rechts multipliziert (Spaltenoperationen ausführen) die Zeile i 0en.

L4 L2 L1 A R1 ====> L4 L2 L1 A R1 R3 ====> L4 L2 L1 A R1 R3 R2

L4 L2 L1 A R1 R3 R2 = P = \(\left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\end{array}\right)\)

Wenn wir mal soweit sind, ist der Rest klar, oder?

War das mit P (Permutationsmatrix) so gedacht?