Stetigkeit einer Funktion mit drei Fällen

Question

Bestimmen Sie den Wert von alpha und beta ∈ ℝ und von f(-1), f(1) so, dass die Funktion auf der ganzen reellen Achse stetig ist:

$$ f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { 2 } - \alpha x + \beta , } & { \text { für } x < - 1 } \\ { ( \alpha + \beta ) x , } & { \text { für } - 1 < x < 1 } \\ { x ^ { 2 } + \alpha x - \beta , } & { \text { für } x > 1 } \end{array} \right. $$

Der mittlere Teil erscheint mir nicht möglich

Answer 1

Der mittlere Teil erscheint mir nicht möglich

Der mittlere Teil ist eine lineare Funktion, also stetig.

Linker und rechter Teil sind quadratische Funktionen, also stetig.

Problematisch sind nur die Abschnittsgrenzen:

• Für Stetigkeit bei -1 muss x² + αx + β = (α + β)x für x = -1 gelten.
  
• Für Stetigkeit bei 1 muss x² + αx - β = (α + β)x für x = 1 gelten.

Einsetzen liefert das Gleichungssystem

        -1² + α·(-1) + β = (α + β)·(-1)

        1² + α·1 - β = (α + β)·1.

Löse es.