Matrizen: Überprüfe, ob die Abbildungen lineare Abbildungen sind.

Question

Aufgabe:

Überprüfe ob linear oder nicht:
$$G: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},G(x,y) = \begin{pmatrix} x & -y \\ y & x \end{pmatrix}$$

$$L: \mathbb{R}^{2x2} \rightarrow \mathbb{R}^4,L(\begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix})=(x - 2y, x - 2z, y + t, x + 2t)$$

Problem/Ansatz:

Bei G würde ich sagen es ist linear. Ob ich vorher oder nachher addiere, spielt keine rolle. das selbe mit einem skalar, ich kann es einfach rausziehen.
L: Hier weiss ich nicht, wie ich vorgehen soll. Ich habe die rechte Seite in Matrixdarstellung gebracht. Aber die Abbildungsvorschrift sehe ich immer noch nicht.

Comments

Ich würde ja gern was zu der Aufgabe sagen. Wie lautet die im Original. Was sind das für Matrizen?

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Bei G stimmt die Angabe von Definitions- und Wertebereich nicht.

Answer 1

Ich nehmen Spaltenvektoren, wegen des geringeren Platzbedarfs

         \(\begin{aligned} &\phantom{{=}} L\left(\begin{pmatrix}x_{1} & y_{1}\\ z_{1} & t_{1} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x_{2} & y_{2}\\ z_{2} & t_{2} \end{pmatrix}\right) \\ & =L\left(\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2} & y_{1}+y_{2}\\ z_{1}+z_{2} & t_{1}+t_{2} \end{pmatrix}\right)\\ & =\begin{pmatrix}(x_{1}+x_{2})-2(y_{1}+y_{2})\\ (x_{1}+x_{2})-2(z_{1}+z_{2})\\ (y_{1}+y_{2})+(t_{1}+t_{2})\\ (x_{1}+x_{2})-2(t_{1}+t_{2}) \end{pmatrix}\\ & =\begin{pmatrix}x_{1}-2y_{1}\\ x_{1}-2z_{1}\\ y_{1}+t_{1}\\ x_{1}-2t_{1} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x_{2}-2y_{2}\\ x_{2}-2z_{2}\\ y_{2}+t_{2}\\ x_{2}-2t_{2} \end{pmatrix}\\ & =L\left(\begin{pmatrix}x_{1} & y_{1}\\ z_{1} & t_{1} \end{pmatrix}\right)+L\left(\begin{pmatrix}x_{2} & y_{2}\\ z_{2} & t_{2} \end{pmatrix}\right) \end{aligned}\)

Zeige auf gleiche Weise, das L(c·M) = c·L(M) für jedes c∈ℝ und jedes M∈ℝ^2×2 ist.

Aber die Abbildungsvorschrift sehe ich immer noch nicht.

Die Abbildungsvorschrift ist

\(\begin{pmatrix}x & y\\ z & t \end{pmatrix}\mapsto\left(x-2y,x-2z,y+t,x+2t\right)\).