Lineare Abbildungen und Darstellungsmatrizen

Question

Aufgabe:

Sei V der R-Vektorraum der Polynome vom Grad ≤ 3

Sei t in R und ft: Mat(nxn) -> V definiert durch:

\( \left(\begin{array}{ll}{1} & {0} \\ {0} & {0}\end{array}\right) \mapsto t X, \quad\left(\begin{array}{ll}{0} & {1} \\ {0} & {0}\end{array}\right) \mapsto X^{2}+1, \quad\left(\begin{array}{ll}{0} & {0} \\ {1} & {0}\end{array}\right) \mapsto t(t-1) X^{3}, \quad\left(\begin{array}{ll}{0} & {0} \\ {0} & {1}\end{array}\right) \mapsto X^{2}+X+1 \)

 Seien B1, B2 geordnete Basen der Mat(nxn) und B´1, B´2 geordnete Basen von V

\( \begin{array}{l}{B_{1}:=\left(\left(\begin{array}{cc}{1} & {-1} \\ {0} & {0}\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}{0} & {-1} \\ {1} & {0}\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}{0} & {-1} \\ {0} & {2}\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}{1} & {0} \\ {0} & {0}\end{array}\right)\right)} \\ {B_{2}} {:=\left(\left(\begin{array}{cc}{0} & {1} \\ {0} & {0}\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}{2} & {1} \\ {0} & {0} \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}{0} & {0} \\ {-2} & {0}\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}{0} & {0} \\ {0} & {1} \end{array}\right)\right)} \\ {B_{1}^{\prime}=} {\left(X^{2}, 1+2 X, X,-X^{3}\right)} \\ {B_{2}^{\prime}=} {\left(X, 3, X^{3}, X^{2}\right)}\end{array} \)

Berechne:

\( M_{B_{1}^{\prime}}^{B_{1}}\left(f_{t}\right) \)

in Abhängigkeit von t.

Problem/Ansatz:

Ich weiß an sich einfach nicht wie ich da anfangen soll... In der Theorie habe ich das Thema schon verstanden, aber die Berechnung fällt wir schwer... Wäre super lieb wenn mir jdm zumindest mal die ersten 1,2 Schritte zeigen könnte:)

Answer 1

Du brauchst erstmal die Bilder der Basisvektoren, also zuerst

$$f (\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix})$$

Dazu musst du das zurückführen auf die Matrizen, deren Bilder du kennst also 

$$f (\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+(-1)*\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix})$$
wegen der Linearität ist das 
$$f (\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix})+(-1)*f(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix})$$
Jetzt die Bilder einsetzen

= t*X  +  (-1) *(x^2 + 1 )  =  (-1) * X^2 + t*X + (-1)

Und dieses Ergebnis musst du jetzt mit der B1' Basis darstellen, das gibt 

(-1) * X^2 + (-1) * ( 1+2X) + ( t-2)*X + 0*(-X^3)  .
Und die Koeffizienten  -1    -1     t-2    0  bilden die
erste Spalte der gesuchten Matrix, also sieht die so aus 

-1     ?      ?     ?
-1     ?      ?     ?
t-2    ?      ?      ?
 0     ?      ?      ?   

und mit den anderen 3 Spalten entsprechend.