Riemann-Summe, Normalparabel

Question

Berechnen Sie die Riemann Summe von

\( \int\limits_{0}^{b} \) x²   dx

Mein Ansatz:

1) Δx= (b-a)/n

Δx= (b-0)/n=b/n

2) xi= a+ i Δx

   xi= 0+ i*b/n

3.) f(x)= x^2

f(xi)= (i*b/n)^2= i^2*(b^2/n^2)

4.) lim n-> ∞ \( \sum\limits_{i=1}^{n}{f(xi) Δx} \) 

lim n -> ∞ \( \sum\limits_{i=1}^{n}{i*b/n)^2  * b} \) 

lim n -> ∞ b/n*(b/n)^2 \( \sum\limits_{i=1}^{n}{i^2} \) 

Mithilfe der Summenformel Regeln umschrieben:

= lim n-> ∞   (b/n)*(b/n)^2*(\(\frac{n(n+1)*(2n+1)}{6} \))

= lim n-> ∞  b^3/n^3*(\(\frac{(n^2+n)*(2n+1)}{6} \))

=  lim n-> ∞  b^3/n^3*(\(\frac{(2n^3+n^2+2n^2+n)}{6} \))

=  lim n-> ∞  b^3/n^3*(\(\frac{(2n^3+3n^2+n)}{6} \))

=  lim n-> ∞  b^3/n^3*(\(\frac{(2n^3+3n^2+n)}{6} \))

Wäre das so ungefähr richtig? Ich versuche mich mit dem Bestimmen von bestimmten Integralen über die Riemann Summe vertraut zu machen. Ich bin über jede Hilfe dankbar.

MfG

gast1990

Comments

Das kann nicht richtig sein, denn aus (2) folgt ja \( x_i = i b \) und das geht über die obere Integrationsschranke hinaus, z.b. für ( i = 2 \)

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Wo liegt denn der Fehler?

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Ups, Fehler gefunden. Die verbesserte Version kommt gleich

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@ullim oder ein sonstiger User im Forum, habe es oben verbessert. Ist es so in Ordnung?

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Du müsstest schon noch vereinfachen, mit n kürzen und den Grenzwert ausrechnen.

Dann kannst du das Resultat mit der Stammfunktion von f(x) = x^2 vergleichen.

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vereinfachen/kürzen:

lim                                     b/n *  \( \frac{2n^3+3n^2+n}{6} \)

n-> ∞

lim                                    b/n^2 \( \frac{2n^2+3n+1}{6} \)

n -> ∞

Grenzwert: x^3/3?

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Irgendetwas mit den Exponenten von b und n stimmt meines Erachtens nicht.

Rauskommen sollte b^3/3 .

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ich finde den Fehler in meiner obigen Rechnung nicht.

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zumindest nicht im obigen Post

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Mithilfe der Summenformel Regeln umschrieben:

Du hast vorher vergessen (b/n)^2 vor die Summe zu ziehen.

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Aber delta x = b/n ?

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Hier:

$$\sum\limits_{i=1}^{n}{(i*b/n)^2 }=(b/n)^2\sum\limits_{i=1}^{n}{i^2 }$$

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Da habe ich das wohl übersehen, danke sehr!

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Habe die Rechnung oben überarbeitet, so in Ordnung?

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Das sollte jetzt richtig sein. Der letzte Grenzwert ergibt auch das gewünschte Ergebnis b^3/3

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Man kann aber noch oben kürzen, oder? bzw. ein n rausziehen aus der Klammer

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Falls ja, wie würde das denn gehen?

Answer 1

                            | Bruchmultiplikation

= lim_(n->unendlich)  (b^3 (2n^3 + 3n^2 + n))/(6n^3)        | n^3 ausklammern

= lim_(n->unendlich)  (b^3 n^3 (2 + 3/n + 1/n^2))/(6n^3)     |n^3 kürzen

= lim_(n->unendlich)  (b^3  (2 + 3/n + 1/n^2))/(6)         | Grenzübergang

= (b^3 * (2 + 0 + 0))/6

= (b^3 * 2)/6

= b^3/3