Matrix beweisen - Symmetrie

Question

Es sei A eine quadratische Matrix mit reellen Einträgen.

Zeigen Sie:

 a) Die Matrix A + AT ist symmetrisch und die Matrix A−AT ist schiefsymmetrisch.

b)Es gibt eine symmetrische Matrix B und eine schiefsymmetrische Matrix C so dass A = B +C gilt.

c) Falls A = B1 + C1 = B2 + C2 für zwei symmetrische Matrizen B1, B2 und zwei schiefsymmetrische Matrizen C1, C2 gilt, dann folgt B1 = B2 und C1 = C2.

AT ist die transponierte Matrix

Bei der Ist meine Idee, dass man A+AT so beweisen, dass A + AT so gesehen einfach nur A^ 2 ist, da symmetrisch und dadurch A= AT.

Bei der schiefsymmetrischen und den restlichen Aufgaben weiß ich nicht weiter.

Allgemein weiß ich auch nicht wie ich es verschriftlichen soll(Auch bei der symmetrischen)

Danke

Comments

Ich weiß halt auch , dass eine Matrix genau dann schiefsymmetrisch ist , wenn A=-AT

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a)

https://www.mathelounge.de/587463/zeigen-die-matrix-ist-symmetrisch-matrix-schiefsymmetrisch

b) da schreibst du einfach hin:

B=(A+A^T)/2 ,C=(A-A^T)/2

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Was ich mich frage ist, was genau ich bei der c beweisen soll.

Es ist dich ersichtlich , dass B1=B2 und C1=C2 , da B symmetrisch ist und C antisymmetrisch und dadurch, dass die Formel  A = B1 + C1 = B2 + C2 besteht , bestätigt wird.

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Weiß jemand ,wie ich es bei der c aufschreiben kann ?

Answer 1

Weiß jemand ,wie ich es bei der c aufschreiben kann ?

c) Falls \(A = B_1 + C_1 = B_2 + C_2\) für zwei symmetrische Matrizen \(B_1\), \(B_2\) und zwei schiefsymmetrische Matrizen \(C_1\), \(C_2\) gilt, dann folgt \(B_1 = B_2\) und \(C_1 = C_2\).

Betrachte den Ausdruck $$A=B+C$$ mit der Bedingung, dass \(B=B^T\) - also symmetrisch - und \(C=-C^T\) - also schief symmetrisch - ist. Dann ist auch: $$\begin{aligned} A &= B - C^T \\ A^T &= B^T + C^T = B + C^T\end{aligned}$$ nun addiere beide Gleichungen $$A+A^T = B - C^T+ B + C^T = 2B \\ \implies B = \frac12\left( A + A^T\right)$$ das bedeutet, dass für eine beliebige Matrix \(A\), die in eine symmetrische Matrix \(B\) und eine schief symmetrische Matrix \(C\) zerlegt wird, \(B\) eindeutig ist. Und folglich auch \(C=A-B\) eindeutig ist. Es existiert somit auch nur eine Möglichkeit der Zerlegung und daher ist oben bei (c) \(B_1=B_2\) und \(C_1=C_2\).