Äquivalenz/Implikation von Aussagen im Ring Z/nZ

Question

Aufgabe:

Wir betrachten den Ring Z/nZ. Sei [a] ∈ Z/nZ, [a] ≠ [0].

Zeigen Sie, dass gilt

ggT(x,n) = 1 für einen Vertreter x von [a] in Z die Aussage ⇒ [a] besitzt ein multiplikatives Inverses im Ring Z/nZ, ist also eine Einheit

Problem/Ansatz:

Kann mir hierbei vielleicht jemand helfen? Vielen Dank vorab!

Answer 1

ggT(x,n) = 1

Dann gibt es p und q aus Z mit  px+qn=1 .

und Modulo n also     px≡1 ,

also ist p in einer Klasse, die zu [a] invers ist.