Rekursive und explizite Formel aufstellen

Question

Gegeben sind die folgenden Folgen (an)∈N, (bn)∈N, (cn)∈N und (dn)∈N mit:

1. Gebe zu jeder Folge eine rekursive Vorschrift an und berechne das siebte Folgenglied.
2. Gebe zu jeder Folge eine explizite Vorschrift an und berechne das zwanzigste Folgeglied.

3. Prüfe, ob die Folge geometrisch bzw. arithmetisch ist.
4. Ist die Folge monoton fallend oder monoton wachsend ?

5. Begründe für jede Folge: ist sie nach oben oder unten beschränkt ?

Answer 1

Hallo lia,

x_n  ist immer das Folgenglied mit der Nummer n , x_n+1 das folgende Folgenglied mit der Nummer n+1

a)  1.    rekursiv:   a_n+1  =  a_n    mit a₁ = 5     →    a₇ = 5

                jedes Folgenglied (außer dem ersten) ergibt sich aus dem vorhergehenden.                          (oder auch aus mehreren vorhergehenden)

     2.   explizit:   a_n = 5         →    a₂₀  = 5

                jedes Folgenglied a_n  ergibt sich aus der Folgengliednummer                                                   (wenn vorhanden, wenn die Folge also nicht konstant ist :-))

     3.   arithmetisch?    a_n =  a₁ + (n-1) • d  ?    ja  mit a₁ = 5  und  d = 0

               die Differenz a_n+1 - a_n  benachbarter Folgenglieder ist immer konstant  d

          geometrisch?     a_n =  a₁ • q^n-1  ?  ,  ja  mit  a₁ = 5  und  q = 1

                der Quotient a_n+1 / a_n  benachbarter Folgenglieder ist immer konstant q

     4.   beides    ( monoton wachsend (fallend) = fällt (wächst) nicht ! )

     5.   beides

b)  1.  rekursiv:  b_n+1  =  b_n - 3  mit  b₁ = 5     →    b₇ = -13    
     2.  explizit:       b_n  ,=  5 - (n-1) • 3    →    b₂₀  = -52   ,     
     3.  arithmetisch?     b_n =  b₁ + (n-1) • d  ?    ja  mit  b₁ = 5  und  d = -3
          geometrisch?     b_n = b₁ • q^n-1  ?  ,   nein

     4.  monoton fallend 
     5.  nach oben durch 5

 c)   für die Folge ergibt sich:    c₁ = 3¹  ,  c₂ = 3²  ,  c₃ = 3⁴ ,  c₄ =  3⁸ ....

    1.  rekursiv:  c_n+1  =  (c_n)²   mit  c₁ = 3    →    c₇  =  3⁶⁴
    2.   explizit:      \(c_n  = 3^{(2^{n-1})}\)       →    c₂₀  = 3⁵²⁴²⁸⁸   ,     
    3.  arithmetisch?    c_n =  c₁ + (n-1) • d  ?    nein

         geometrisch?     c_n = a₁ • q^n-1  ?  ,  nein 
    4.  monoton wachsend
    5.  nach unten durch 3 

d)  ist geometrisch mit  d₁ = 2/3 und q = 3  , solltest du mal selbst versuchen :-)

Gruß Wolfgang