0 Daumen
98 Aufrufe

Sei G eine abelsche Gruppe, so dass für alle a Element von G gilt 2a=0. Wir definieren eine skalare Multiplikation durch

*:Z/2Z x G -> G,0*a=0,1*a=a für alle a Element von G.

Zeigen Sie, dass G dadurch zu einem Z/2Z Vektorraum wird.



Ich habe mir zwar das Skript schon mehrfach intensiv durchgelesen, aber ich komme auf nichts. Und wenn für alle a 2a=0 gilt, kann a doch nur null sein oder?? Ich glaube ich habe einfach gerade eine Denkbarriere...

von

1 Antwort

+1 Daumen
Zeigen Sie, dass G dadurch zu einem Z/2Z Vektorraum wird.

Also muss G die Vektorraumaxiome erfüllen. Einige dieser Axiome sind alleine schon deshalb erfüllt, weil in der Aufgabenstellung angegeben ist, dass sie erfüllt sind.

Identifiziere diese Axiome. Beweise unter Rückgriff auf die Defintion von "*" die übrigen.

Und wenn für alle a 2a=0 gilt, kann a doch nur null sein oder

Nein. Zum Beispiel kann G = {x ∈ ℚ | ∃ y ∈ ℚ: x·y = 1} sein, und die Gruppenverknüpfung die Multipikation "·" sein.

Die 0 in der Gleichung "2a=0" ist nicht die klassische 0, die du von den Zahlen her kennst. Sie ist stattdessen das neutrale Element bezüglich der Gruppenoperation. In meinem Beispiel wird dieses Element üblicherweise mit "1" bezeichnet.

Auch die 2a ist nicht eine klassische Multiplikation, sondern eine Abkürzung dafür, das zwei a duch die Gruppenoperation miteineander verknüpft werden. In meinem Beispiel wäre also 2a = a·a (und 5a wären dementsprechend a·a·a·a·a).

Jetzt ergibt aber (-1)·(-1) = 1. Das neutrale Element meiner Gruppe kann also erzeugt werden, indem ich zwei Gruppenelemente miteinander verknüpfe, von denen keines selbst das neutrale Element der Gruppe ist.

Natürlich erfüllt meine Gruppe nicht, dass 2a=0 für alle a gilt. Aber ich hoffe es ist zumindest deutlich geworden, dass da eine abstraktere Herangehensweise notwendig ist, als in der Schule gelehrt wird ist. Nämlich eine Herangehensweise, die aus Axiomen heraus argumentiert.

von 55 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community