Supremum, Infimum: erste fünf Folgeglieder, Beispiel fur lim inf(an) ≠ lim sup(an)

Question

Aufgabe:

Wir defnieren die Folgen (xn)n∈N und (yn)n∈N uber xn = inf (ak :k≥n) und yn = sup (ak : k≥n).

1) Wir betrachten nun (an) mit an = 1/n fur n≥1. Geben Sie jeweils die ersten 5 Folgenglieder als auch den Grenzwert von (xn) und (yn) an.

2) Wir definieren den Limes Inferior und den Limes Superior der Folge (an) :lim inf(an) := im (xn),  lim sup(an) := lim(yn)Geben Sie ein Beispiel fur lim inf(an) ≠ lim sup(an) an.

Problem/Ansatz:

Zu 1): die ersten fünf Folgeglieder der Folge (an) wären kein Problem, allerdings die von (xn) und (yn) machen mir zu schaffen. Im Bezug auf (an) dachte ich, dass infimum und supremum jeweils genau einen Wert annehmen?

Zu 2) könnte ich da lim inf(an)= 1/1000, lim sup(an)= 1/1 angeben?

Ich glaube ich steige bei infimum und supremum noch nicht so durch.

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe

Answer 1

An der ersten aufgabe häng ich selbst...

der 2. teil ist aber, wenn ich ihn richtig verstanden habe, relativ einfach.

Du sollst ein Beispiel für eine Folge geben, bei der der Limes Superior nicht gleich dem Limes Inferior ist...

Bestes Beispiel (-1)^n du hast den Lim Sup bei 1 und Lim Inf bei -1 ... das sind deine einzigen 2 häufungspunkte. Limes Sup ist dein höchster HP und der Lim imf der niedrigste.

Hoffe du kannst mit der Antwort noch was anfangen bevor du abgibst. :D