Zeigen, dass für jede monoton wachsende reelle Folge diese Gleichung gilt: lim inf a_(n) = lim sup a_(n)

Question

Zeige, auch unter Berücksichtigung des Falles einer unbeschränkten Folge, dass für jede monoton wachsende reelle Folge gilt, dass

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EDIT: Zu lesen ist das als als "Limes inferior" und "Limes superior". Habe diese Tags ergänzt.

Answer 1

Sei (a_n) _n∈ℕ monoton wachsend.

1. Fall:   (a_n) _n∈ℕ ist nach oben beschränkt, hat also einen Grenzwert g.

Dann gibt es zu jedem ε>0 ein n∈ℕ     so dass für alle k∈ℕ      gilt 

                  k>n   ==>     g-ε < a_k <    g+ε

Also liegen für k>n sowohl Infimum als auch Supremum der

Menge { a_k | k ≥ n } zwischen   g-ε  und   g+ε.

Damit haben die Folgen der Infima bzw. Suprema beide den

gleichen Grenzwert g und damit ist 

$$ \lim_{n\to\infty}inf ({a}_{n}) =\lim_{n\to\infty}sup ({a}_{n})=g $$

2. Fall   (a_n) _n∈ℕ ist nach oben NICHT beschränkt

  , dann gilt für alle  n∈ℕ  :

Die Menge  { a_k | k ≥ n }  hat das Infimum  a_k (wegen der Monotonie)

und das Supremum ∞  (wegen "nach oben nicht beschränkt" )

Da für k gegen ∞ die Folge der  a_k auch gegen unendlich geht ,

sind somit die Grenzwerte der Folgen der Infima und der Suprema beide ∞.