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Aufgabe:

Es seien U1,U2 Untervektorräume des Vektorraumes V.

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Problem/Ansatz:

1)   (U1 ∩ U2) ein UVR

2) durch ein Gegenbeispiel,dass die Vereinigung U1 U2 allgemeinen kein UVR von V ist

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  (U1 ∩ U2) ein UVR

Du brauchst ja nur zu zeigen:

1.  U1 ∩ U2 nicht leer, klar weil der 0-Vektor drin sit.

2. Abgeschlossen gegenüber + . Seien also v,w ∈ U1 ∩ U2

Da sowohl U1 als auch U2 abgegeschlossen gegenüber + ist,

und v, w  in beiden liegen, tut es die Summe auch.

3. entsprechend: Abgeschlossen gegenüber Multiplikation mit

Elementen aus dem Grundkörper: Wieder erfüllt, weil es

in jedem der einzelnen Unterräume gilt

2) durch ein Gegenbeispiel, dass die Vereinigung U1 U2 allgemeinen kein UVR von V ist

Wähle  in R^2

einmal alle Vielfachen von (1,0)  und

zum anderen alle Vielfachen von (0;1) .

sind beides Unterräume, aber die Vereinigung nicht; denn die

müsste dann auch die Summe (1;0)+(0;1) enthalten, tut sie aber nict.

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