Länge Vektor angeben

Question

Aufgabe:

Berechen Sie (A*B^T)*c und geben Sie die Länge von (A*B^T)*c an.

Problem/Ansatz:

Ich habe diese Aufgabe mit zwei Matrizen (A,B) und dem Vektor c.

A = \( \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \) ; B = \( \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & -6 \\ \sqrt{20} & 2 \end{pmatrix} \) ; c = \( \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix} \)

Wie muss ich bei dieser Aufgabe vorgehen? Ich weiß auf jeden Fall, dass ich B transponieren muss.

Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen.

Grüße

FlowRider007

Answer 1

Ich weiß auf jeden Fall, dass ich B transponieren muss.

Ja - und dann die Matrizen multiplizieren: $$\begin{aligned} A\cdot B^T\cdot c &= \begin{pmatrix}1& -1\\ 0& -1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1& 4\\ 2& -6\\ \sqrt{20}& 2\end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix}2\\ 1\\ 1\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}1& -1\\ 0& -1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1& 2& \sqrt{20}\\ 4& -6& 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\ 1\\ 1\end{pmatrix} \\ &= \left[\begin{array}{cc}  & \begin{pmatrix}1& 2& \sqrt{20}\\ 4& -6& 2\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}1& -1\\ 0& -1\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}-3& 8& \sqrt{20}-2\\ -4& 6& -2\end{pmatrix} \end{array} \right]\cdot \begin{pmatrix}2\\ 1\\ 1\end{pmatrix}  \\ &= \begin{pmatrix}-3& 8& \sqrt{20}-2\\ -4& 6& -2\end{pmatrix}  \cdot \begin{pmatrix}2\\ 1\\ 1\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}\sqrt{20}\\ -4\end{pmatrix} \end{aligned}$$ und der Betrag ist schnell ausgerechnet:$$|AB^Tc| = \sqrt{20 + (-4)^2 } = 6$$

Der Depp

PS.: ... bleibt noch zu erwähnen, dass es evt. einfacher ist, von 'hinten' mit dem Multiplizieren zu beginnen. Also ab hier:$$\begin{aligned} A\cdot B^T\cdot c &= \begin{pmatrix}1& -1\\ 0& -1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1& 2& \sqrt{20}\\ 4& -6& 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\ 1\\ 1\end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}1& -1\\ 0& -1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4+\sqrt{20}\\ 4\end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}\sqrt{20}\\ -4\end{pmatrix} \end{aligned}$$

Comments

Nachtrag .... (s.o.)

Answer 2

"Ich weiß auf jeden Fall, dass ich B transponieren muss."

Dann tu es doch.

Führe dann die verlangten Multiplikationen einfach aus. Nutze dafür die Definition der Matrizenmultiplikation oder das ... https://de.wikipedia.org/wiki/Falksches_Schema

... oder warte, bis sich ein willfähriger Depp findet, der dir die Aufgabe ohne erbrachte Eigenleistung vorrechnet.

A*B^T ergibt eine 2 X 3 - Matrix, die mit der 3 X 1-Matrix c multipliziert wird. Das Ergebnis wird eine 
2 X 1-Matrix (also ein zweizeiliger Vektor) sein, dessen Betrag mit \(\sqrt{...²+...²}\) berechnet wird.

Comments

Wenn du es so drauf hast, kannst du doch auf mal sagen, wie ich die Länge berechne

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Habe gerade ergänzt. Ist Schulstoff aus den Anfängen der Vektorrechnung.