Span und lineare Abhängigkeit sind äquivalent

Question

ich habe hier eine Aufgabe, weiss aber nicht wie anfangen??

Aufgabe:
Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Seien v1,...,vk in V Vektoren, die linear unabhängig sind, und sei w in V. Beweisen Sie, das die folgenden Aussagen äquivalent sind:
1)w in span(v1,.....,vk)
2) v1,...,vk,w sind linear abhängig.

ich weiss nur dass linear abhängig ist, wenn die Koeffizienten nicht alle gleich 0 sind.

Kann mir jemand bitte helfen?

Answer 1

die Hinrichtung "⇒" ist ja sehr einfach. Daher der Ansatz für die Rückrichtung "⇐" (die auch einfach ist).

Seien \( v_1, ..., v_k, w \) linear abhängig. Das heißt, es gebe nicht verschwindende Koordinaten \( a_i \) in \( K\), sodass

\( 0 = a_1 v_1 + ... + a_k  v_k + a_{k+1} w = \left( \sum_{i=1}^{k} a_i v_i \right) + a_{k+1} w \)

gilt. Da \( K \) ein Körper ist, gibt es \(a_{k+1}^{-1} \) in \( K \), das man auch als \( a_{k+1}^{-1} = \frac{1}{a_{k+1}} \) schreiben kann. Somit lässt sich die eben geschriebene Darstellung der 0 (besser: des Nullvektors) nach \( w \) umstellen gemäß:

\( w = - \frac{1}{ a_{k+1} } \sum_{i=1}^{k} a_i v_i \).

Dies aber heißt, dass \( w \) im \( span (v_1, ..., v_k) \) ist.

MfG

Mister

PS: Die Hinrichtung "⇒" geht genau in die andere Richtung und kommt sogar ganz ohne das Inverse \( a_{k+1}^{-1} \) der Koordinate \( a_{k+1} \) aus.

Comments

Ich verstehe deine Schritten nicht.

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Hm, vielleicht schläfst du nochmal drüber.

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Ich habe es in Ruhe nochmal nachgedacht und ich finde die Hinrichtung gar nicht einfach...


1. verstehe ich nicht warum w k+1 ist?

2. für was brauche ich den Nullvektor?


Was ich weiss ist, dass die Koeffizienten nich alle 0 sind, damit die Vektoren linear abhängig sind.


Es ist gegeben, dass die Vektoren linear UNabhängig sind, das heisst der Vektor w hat einen Koeffzient, der nicht 0 ist.

aber wie zeige ich dass denn?

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Stimmt \( w_{k+1} \) ist falsch. Ich korrigier's: Es muss natürlich \( w \) dastehen.

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PS: "Es ist gegeben, dass die Vektoren linear UNabhängig sind, das heisst der Vektor w hat einen Koeffzient, der nicht 0 ist."

Das ergibt keinen Sinn. Sind die Vektoren linear unabhängig, so sind die einzigen Koordinaten \( a_i \), die zur Darstellung des Nullvektors mithilfe der Vektoren führen, die verschwindenden Koordinaten \( a_i = 0 \) gemäß:

\( 0 = \left( \sum_{i=1}^{k} a_i v_i \right) + a_{k+1} w \).