Man zeige das für n element N gilt:

Question

Man beweise, dass es eine natürliche Zahl n₀ ≥ 2¹⁰⁰¹ gibt.

Man zeige, dass für (jedes) n ∈ℕ gilt : 4ⁿ ≥ (²ⁿ_n)

Answer 1

Beweis per Induktion über n.
Induktionsanfang: Die Aussage gilt offensichtlich für  n = 1.
Induktionsvoraussetzung: Die Aussage gelte für ein n > 0.
Induktionsschritt: Zu zeigen ist, dass die Aussage für  n + 1  gilt.
Nach Induktionsvoraussetzung gilt$$\small4^{n+1}=4\cdot4^n>4\cdot\binom{2n}n=4\cdot\binom{2n+2}{n+1}\cdot\frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}$$$$\small4^{n+1}>\binom{2(n+1)}{n+1}\cdot\frac{4n^2+8n+4}{4n^2+6n+2}>\binom{2(n+1)}{n+1}$$Daraus folgt die Behauptung.