Orthogonalität einer Matrix

Question

Gegeben ist die folgende von den Parametern α, β ∈ ℝ mit α ≠ 0 abhängige Matrix. 

Aα,β = 1/α  \( \begin{pmatrix} 0 & 3√2 & 0 & -3√2 \\ 5 & 0 & √11 & 0 \\ 0 & 3√2 & 0 & 3√2 \\ √11 & 0 & β & 0\end{pmatrix} \)

a) Bestimmen Sie α > 0 und β ∈ ℝ so, dass Aα,β orthogonal ist.

b) Bestimmen Sie α > 0 und β ∈ ℝ so, dass 6A^Tα,β orthogonal ist.

Ich experimentiere schon eine Weile, um mich ins Thema einzufinden, jedoch fällt mir der Ansatz zur Lösung noch relativ schwer.

Comments

A orthogonal ⇔ A^TA=E=Einheitsmatrix.

Somit sind in a) die Parameter α und β so zu bestimmen, dass  (Aα,β)^T(Aα,β) = E ist.

In b) analog. Für welche α, β ist (6A^Tα,β)^T(6A^Tα,β)=E ?

Answer 1

Bei A^T * A erhalte ich erhalte ich auf der Diagonalen 3 mal  36/a^2  und

einmal  ( b^2 + 11) / 36

Damit das alles 1en werden muss a = ±6 sein und b=±5.

Außerdem habe ich außerhalb die Diag. an 2 Stellen

b*√11 + 5*√11 . Damit das eine 0 wird, muss b= -5 sein.

Also gibt es 2 mögliche Lösungen:

a=6 und b=-5    oder

a=-6 und b=-5.

Comments

Hallo mathef,

danke erstmal für Ihre Antwort. Eine orthogonale Matrix gibt ja die Bedingungen vor, dass einmal die Determinante entweder -1 oder 1 ist, die Inverse gleichzeitig die Transponierte ist und und dass die Matrix mal der Inversen die Einheitsmatrix erfüllt. Mit den Werten a=5 und b=-5 für Aufgabenteil a) und a=-5 und b=-5 sind bei mir die Bedingungen nicht alle erfüllt, oder gehe ich mit den Bedingungen falsch an die Sache.

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Welche Bedingung ist denn nicht erfüllt ?

Ach so, ich sehe gerade: In der Antwort hatte ich mich vertippt.

Hast du die Herleitung nicht gelesen ?  a = ± 6

Habs korrigiert !

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VVielen dank. Ja sie haben Recht. Habe wohl 6 als 5 gelesen :)

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Hallo mathef nochmal, ich wollte fragen ob sie die b) mal kontrollieren könnten. Ich bekomme als Lösung α=6 und für β=2,2 , was mir ein wenig unrealistisch vorkommt.