aufgabe : Sei A ∈ Matn(K) eine Matrix

Question

Sei A ∈ Matn(K) eine Matrix und

σ(A) = {λ ∈ K | ∃a ∈ V mit a 6= 0 und f(a) = λa}
ihr Spektrum, also die Menge der Eigenwerte. Beweisen oder widerlegen Sie:
(i) Es gilt A ∈ GLn(K) genau dann, wenn λ = 0 kein Eigenwert ist.
(ii) Die Summe a + b von zwei Eigenvektoren a, b ∈ Kn
ist ein Eigenvektor.
(iii) Sind λ, µ Eigenwerte von A, so ist das Produkt λµ Eigenwert von A2
.
(iv) Ist A invertierbar und diagonalisierbar, so ist auch A−1 diagonalisierbar.
(v) Aus der Bedingung An = 0, n ≥ 1 folgt die Gleichheit σ(A) = {0}

Comments

ei A ∈ Matn(K) eine Matrix und

σ(A) = {λ ∈ K | ∃a ∈ V mit a ≠ 0 und f(a) = λa}
ihr Spektrum, also die Menge der Eigenwerte. Beweisen oder widerlegen Sie:
(i) Es gilt A ∈ GL_n(K) genau dann, wenn λ = 0 kein Eigenwert ist.
(ii) Die Summe a + b von zwei Eigenvektoren a, b ∈ Kⁿ
ist ein Eigenvektor.
(iii) Sind λ, µ Eigenwerte von A, so ist das Produkt λµ Eigenwert von A²
.
(iv) Ist A invertierbar und diagonalisierbar, so ist auch A−1 diagonalisierbar.
(v) Aus der Bedingung Aⁿ = 0, n ≥ 1 folgt die Gleichheit σ(A) = {0}

Answer 1

Sei A ∈ Mat_n(K) eine Matrix und
σ(A) = {λ ∈ K | ∃a ∈ V mit a ≠ 0 und f(a) = λa}
ihr Spektrum, also die Menge der Eigenwerte.

(i) Es gilt A ∈ GLn(K) genau dann, wenn λ = 0 kein Eigenwert ist.

Denke, das stimmt:

0 kein Eigenwert <==>  Es gibt kein v≠0 mit A*v=0

<==>  Kern(A) = {0} <==>   A invertierbar <==>  A ∈ GLn(K)

(ii) Die Summe a + b von zwei Eigenvektoren a, b ∈ Kn
ist ein Eigenvektor.

Das gilt wohl nur für Eigenvektoren zum gleichen Eigenwert; denn für

A =   2  0
        0  5     gilt z.B.

1
0

und

0
1

sind beides Eigenvektoren, aber die Summe nicht.

(iii) Sind λ, µ Eigenwerte von A, so ist das Produkt λµ Eigenwert von A^2

Gegenbeispiel aus (ii).  2 und 5 sind Eigenwerte von A.

Aber A^2 hat nur die Eigenwerte 4 und 25 und nicht etwa 10..

(iv) Ist A invertierbar und diagonalisierbar, so ist auch A−1 diagonalisierbar.

Heißt es A^(-1) , dann stimmt es :

A diagonalisiertbar ==> Es gibt S,T ∈GL_n(K) und eine Diagonalmatrix D mit

                     S * A * T = D

==>               S * A = D * T^(-1)

==>               S =  D * T^(-1) * A^(-1)

und D^(-1) ist wegen S * A * T = D auch in GLn(K) , also

==>              D^(-1) * S = T^(-1) * A^(-1)

==>              D^(-1)   = T^(-1) * A^(-1) * S^(-1)

und    D^(-1) ist auch eine Diagonalmatrix.

(v) Aus der Bedingung A^n = 0, n ≥ 1 folgt die Gleichheit σ(A) = {0}.

Sei m das kleinste n mit dieser Eigenschaft, dann folgt aus

 A^m = 0 zunächst mal: Für alle v ∈ V gilt A^m * v = 0 ,

und wegen der Minimalität  ist w = A^(n-1)*v ≠ 0,

also w ein Eigenvektor zum Eigenwert 0. Also 0 ∈ σ(A) .  #

Sei nun k irgendein Eigenwert von A, dann gibt es v≠0 mit A*v=k*v

Dann ist A^2*v = A*(A*v))=A*(k*v) = k*(A*v) = k*(k*v) = k^2*v etc.

Also A^n *v = k^n * v und wegen v≠0 also k^n = 0 also k=0.

Also hat A nur 0 als Eigenwert und damit σ(A) ⊆ {0}. Zusammen mit

# also Gleichheit.