Mathe-Artikel #006: Der kleine Gauß - Ohne Worte

Question

1. Einführung

Beweise in der Mathematik müssen nicht immer kompliziert sein - im Gegenteil. Viele Beweise können anschaulich und ohne komplizierte Formeln jedem zugänglich gemacht werden. Überzeuge dich selbst bei diesem geometrischen Beweis des kleinen Gauß (Gauß'sche Summenformel) ohne vollständige Induktion!

2. Der Beweis

Der kleine Gauß beschreibt den folgenden Zusammenhang:

$1+2+3+...+n=0,5\cdot n\cdot (n+1)$

Dabei ist $n\in\mathbb{N}$ eine natürliche Zahl. Mit Hilfe des Summenzeichens kann diese Formel wie folgt verkürzt notiert werden:

$\sum\limits_{k=1}^{n}{k}=0,5\cdot n\cdot (n+1)$

Für eine geometrische Interpretation betrachtest du zunächst einen quadratischen Block mit der Seitenlänge $1$:

Halbierst du diesen quadratischen Block entlang einer Flächendiagonalen, so erhältst du ein Dreieck mit dem Flächeninhalt $0,5$.

Der Zusammenhang wird nun vereinfacht dargestellt (d. h. es wird auf Punkte zur Andeutung von allen Summanden zwischen $3$ und $n$ verzichtet). Man kann die Summe der ersten $n$ aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen (unter Berücksichtigung der zuvor erwähnten Vereinfachung) geometrisch wie folgt auffassen:

Gesucht ist nun der blau markierte Flächeninhalt:

Diesen kannst du errechnen, indem du zuerst das Quadrat mit dem Flächeninhalt $n$ betrachtest:

Die blau markierte Fläche hat also einen Flächeninhalt von $$n\cdot n$$ Halbierst du diesen, erhältst du den Flächeninhalt der markierten Dreiecksfläche:

Diese besitzt den Flächeninhalt $$0,5\cdot n\cdot n$$ Das reicht aber offensichtlich noch nicht, denn es soll der Flächeninhalt der gesamten Figur (= Wert der Summanden von $1$ bis $n$) ermittelt werden. Es fehlen noch die insgesamt $n$ grün markierten Dreiecksflächen, die jeweils einen Flächeninhalt von $0,5$ besitzen:

Wenn du diese $n$ Flächen mit dem Flächeninhalt $0,5$ auf die Dreiecksfläche mit dem Flächeninhalt $0,5\cdot n\cdot n$ addierst, erhältst du:

$0,5\cdot n\cdot n+0,5\cdot n$

Klammere den Faktor $0,5\cdot n$ aus und Du erhältst das Ergebnis:

$0,5\cdot n\cdot (n+1)$

$\square$

In dem eingangs geposteten Video habe ich diese Vorgehensweise animiert. Mich würde euer Feedback sehr freuen :)

André

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Comments

Super, vor allem das Video!

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Danke für das Lob! Da kommt noch mehr ;)

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das video ist cool gemacht *_* die musik gefällt mir auch sehr. die pausen zwischen den einzelnen steps war gut gewählt nur an einer stelle hätte ich mir gewünscht das es zum nächsten punkt geht. aber ansonsten topp!!!

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Passend zum neuen Kanalkonzept nun auch mit neuem Thumbnail. Was meint ihr: too much?

Wo könnte man sich im Gestaltungsstil noch verbessern?

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Wo könnte man sich im Gestaltungsstil noch verbessern?

Betrifft das Video:

0. Wohl gar nicht. Sehr schön gemacht.

1.  Die letzte Zeile  = 0.5 n(n+1) ca 0.5 cm weiter oben ansetzen, damit klar ist, woher die Klammer (n+1) kommt.

2. Fertig umformen auf den Bruchterm (n(n+1))/2   . Schöner wäre von Anfang an 1/2 oder n²/2 ... zu verwenden  . (Bruchterm zu bekommen macht gelegentlich Schwierigkeiten)

3. Neben dem zweiten gelben 0.5n ein " *1 " ergänzen. Erleichtert den Übergang zur letzten Zeile mit (n+1) in der Klammer. 

Geometrische Alternative: Die Dreiecke verdoppeln, zu einer Säule der Höhe n zusammenschieben, rechts ansetzen und dann direkt die Fläche des  n*(n+1) - Rechtecks halbieren. 

Es handelt sich bei deinem Vorgehen um eine der vielen Begründungen für diese Formel, die an Gymnasien gängig ist. "Beweis mit vollständiger Induktion" wird seltenst bei der Einführung dieser Formel herangezogen. Üblicher ist, dass diese Formel als Übung mit vollständiger Induktion nochmals bewiesen wird / zu beweisen ist. So bekommen die Schüler wenigstens in bekannten Spezialfällen den Eindruck, dass "völlständige Induktion" klappt und kein Zauberzeugs ist.

Bei den Tags wären die Stichworte "arithmetische", "Reihe", "Partialsumme" sinnvoll, damit dein Artikel im richtigen Zusammenhang gefunden wird. Gauss wird in diesem Zusammenhang seltener bemüht. 

Aus Interesse: Kannst du mir noch den Sinn der drehenden Kreisscheiben im Video erklären? 

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Aus Interesse: Kannst du mir noch den Sinn der drehenden Kreisscheiben im Video erklären? 

Das ist Design! Sieht finde ich sehr gut aus!

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Ich habe dort die "harmonische Reihe" gesucht und noch nicht ganz gefunden. Ausnahme: Linearität (Umfänge) wird bei Addition (Kreisfläche) quadratisch. Den Faktor ± 1/2 kann ich aber nicht schlüssig erkennen.

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Aus Interesse: Kannst du mir noch den Sinn der drehenden Kreisscheiben im Video erklären?

Wie racine_carrée schon geschrieben hat, handelt es sich hierbei um Design ;) Denkst Du es wäre sinnvoll, eine weitere Version mit eingesprochener Erklärung hochzuladen?

Danke für Dein Feedback, Lu! Bei Punkt 3 stimme ich Dir voll und ganz zu. Das würde ich z. B. in der zweiten Variante einbauen.

Üblicher ist, dass diese Formel als Übung mit vollständiger Induktion nochmals bewiesen wird

Dazu habe ich auch schon ein Video erstellt (allerdings war das mein Erstlingswerk und dementsprechend noch nicht optimal):

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bei dem video was du hier als kommentar gepostet hast hallt es sehr stark. der inhalt ist aber gut.

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bei dem video was du hier als kommentar gepostet hast hallt es sehr stark.

Ich weiß :/ Das hat sich mittlerweile etwas verbessert. Wie gesagt: Das war mein erstes Video (Welpenbonus) ;)