Begründe, dass F keine Sigma Algebra ist

Question

Sei Ω = N und F die Menge aller endlichen Teilmengen von N und deren Komple-mente.

Begründen Sie, dass die Mengenfamilie F keine σ-Algebra ist


Vielen Dank :D

Answer 1

der Grund dafür, dass F keine σ-Algebra ist, ist folgender:

Sei $A_i$ eine Folge paarweise disjunkter endlicher Teilmengen von N. Jede dieser Teilmengen $A_i$ gehört definitionsgemäß zu F.

Definitionsgemäß müssen abzählbare Vereinigungen $\cup_{i \in \mathbb{N}} A_i$ in einer σ-Algebra liegen. Da diese Menge aber definitionsgemäß nicht in F liegt, ist F keine σ-Algebra.

Dieser Grund gilt nur, bzw. ist F nur dann keine σ-Algebra, wenn N nicht endlich ist. Ansonsten gibt es ja keine unendliche Folge paarweise disjunkter Teilmengen von N. Insbesondere ist das Komplement jeder endlichen Teilmenge dann endlich und eine σ-Algebra liegt vor.

MfG

Mister

Comments

PS: Wir müssen die Menge $\cup_{i \in \mathbb{N}} A_i$ so wählen, dass ihr Komlement nicht endlich ist, da sie als Komplement einer endlichen Menge sonst wieder in F liegen würde.

Für $\Omega = \mathbb{N}$ würde das zum Beispiel durch die Wahl der $A_i$ gemäß

$A_i$ ist die Menge, die die i-te ungerade natürliche Zahl enthält

erfüllt. Das Komplement der ungeraden natürlichen Zahlen sind die geraden natürlichen Zahlen. Weder die Menge aller geraden noch die Menge aller ungeraden Zahlen ist endlich folglich liegt keine dieser Mengen in F.