Überprüfe, ob die Mengensysteme Sigma-Algebra über Rn sind

Question

Aufgabe:

Überprüfen Sie, ob die folgenden Mengensysteme $\sigma$-Algebren über $\mathbb{R}^{N}$ sind.
a) $\mathcal{A}_{1}:=\left\{A \subset \mathbb{R}^{N}: A\right.$ ist höchstens abzählbar $\}$;
b) $\mathcal{A}_{2}:=\left\{A \subset \mathbb{R}^{N}: A\right.$ ist endlich oder $\mathbb{R}^{N} \backslash A$ ist endlich $\}$;
c) $\mathcal{A}_{3}:=\left\{A \subset \mathbb{R}^{N}: A\right.$ ist höchstens abzählbar oder $\mathbb{R}^{N} \backslash A$ ist höchstens abzählbar $\}$;
d) $\mathcal{A}_{4}:=\left\{A \subset \mathbb{R}^{N}: A \subset B\right.$ oder $\left.\left(\mathbb{R}^{N} \backslash A\right) \subset B\right\}$ mit einem fest vorgegebenen $B \subset \mathbb{R}^{N}$.

Eine $\sigma$-Algebra über $\mathbb{R}^{N}$ ist ein Mengensystem $\mathcal{A} \subset \mathcal{P}\left(\mathbb{R}^{N}\right)$ mit den folgenden Eigenschaften:
- $\emptyset \in \mathcal{A}$
- $A \in \mathcal{A} \quad \Rightarrow \quad \mathbb{R}^{N} \backslash A \in \mathcal{A}$
- $A_{1}, A_{2}, \ldots \in \mathcal{A} \quad \Rightarrow \quad \bigcup_{i-1}^{\infty} A_{i} \in \mathcal{A}$

Problem/Ansatz:

Ich bin mir wieder mal nicht so sicher, wie ich diese Aufgabe lösen soll - hier einmal meine Idee:

a) Da für nicht abzählbares $ℝ^{n}$ schon $ℝ^{n}$ ∉A1, kann $ℝ^{n}$ nicht für beliebige Mengen $ℝ^{n}$ ≠0 eine σ-Algebra sein (In der Menge aller nicht-leeren Mengen sind nicht-abzählbare Mengen enthalten, also kann $ℝ^{n}$ nicht für eine beliebige nicht-leere Menge eine σ-Algebra sein.

b) Ist keine σ-Algebra, da die Mengen An={n} mit n∈ℕ endlich sind und damit in $ℝ^{n}$ liegen, aber es gilt ∪An=ℕ und weder ℕ noch ℝ - ℕ sind endlich.

c) ich hätte gezeigt, dass es sich um eine σ-Algebra handelt (die frei Bedingungen nachweisen).

d) Hier komme ich nicht weiter.

Sind meine Überlegungen zu a), b) und c) richtig - Wie zeige ich jetzt d), ob es eine σ-Algebra ist oder nicht?

Danke für Hilfe im Voraus

Comments

Zu d) hätte ich mir jetzt überlegt, dass es eine σ-Algebra ist. Falls $A_{i} \in \mathcal{A}_{4}$ eine Folge von Mengen ist und jede von diesen $\mathbb{R}^{n} \backslash A_{i} \subseteq B$ erfüllt, dann gilt
$\mathbb{R}^{n} \backslash \bigcup_{j} A_{j} \subseteq \mathbb{R}^{n} \backslash A_{i} \subseteq B$
und anderenfalls erhaltet man für alle $i$ $A_{i} \subseteq B$, womit
$\bigcup_{j} A_{j} \subseteq B$
gilt. Somit ist $\mathcal{A}_{4}$ unter abzählbaren Vereinigungen geschlossen (Stimmt das soweit)?

Damit müsste ja Bedingung 3 erfüllt sein - jetzt steh ich nur noch auf der Leitung, wie ich die Bedingungen 1 und 2 für A₄ zeige?