Ableitung von ln(x*e^x)

Question

Aufgabe:

Was ist die Ableitung von f(x)= ln(e^x*x)?

Problem/Ansatz:

Ich komme auf:

f‘(x)= 1/e^{x *} 1/x

Im Lösungsbuch steht aber 1+ 1/x

Answer 1

Hallo

Vor dem Ableiten Umformen:

y= ln(e^x *x) =ln(e^x) +ln(x)

y=x *ln(e) +ln(x) ; ln(e)=1

y= x+ln(x)

y'= 1 +1/x

Answer 2

Für den ln gilt

\(\left [ \ln(g(x))\right ]'=\dfrac{g(x)'}{g(x)}\)

Also bei dir \(f'(x)=\dfrac{xe^x+e^x}{xe^x}=\dfrac{x+1}{x}=1+\dfrac{1}{x}\). Du kürzt mit \(e^x\).

Answer 3

Hast du die "innere Ableitung" vergessen?

Oder: Was hast du genau gerechnet?

f(x)= ln(e^x*x)

f ' (x) = 1/(e^x * x) * (e^x * x + e^x * 1) 

= (e^x(x+1))/(e^x*x)

= (x+1)/x

= 1 + 1/x